第五节两个重要极限ppt课件.ppt

第五节 两个重要极限,一,于是得到第一个重要极限：,显然,推广形式为：如果 ，或 时， ，则,例1:求下列极限,解:,二第二个重要极限,都称为第二个重要极限,第二个重要极限可以推广为以下形式:,为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：,例2 ： 求下列极限,解:,（1）这里,这里,这里,课堂练习,求下列极限,等价无穷小代换法则：若 为 型未定式极限,三利用等价无穷小代换计算 未定式的极限,两个无穷小量 ， 之比的极限 称为 型未定式极限,例如,需要记住的等价无穷小量有：,例3 ： 求下列极限,课堂练习,利用等价无穷小代换求下列极限,第六节 函数的连续性,许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，一般地，气温不会在极其短暂的时间内由2C突变到20C。由2C变到20C必然要经过一个时间过程，并且不是一个很短的过程。,自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描述为：对函数 ，当自变量 的改变量非常微小时，相应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于零，函数值的改变量也趋于零。,从几何上讲，函数 在点 连续，就是曲线 在点 不间断，即当横坐标 从 的左右两侧无限趋于 时，纵坐标 无限趋于 处的纵坐标 ，如下图所示,一函数连续的概念,函数 在点 连续必须同时成立以下三个条件：,1在点 有定义，即 存在；,2 存在，即在 有极限；,3极限值等于函数值，即 ,如果函数 在点 不能同时满足以上三个条件，则称函数在点 间断，或称函数在 不连续。,例1：讨论函数 在 的连续性,解：,因为函数 在 没有定义,所以函数 在 不连续。,例2: 讨论函数 在 处的连续性,解：,故该函数在 处不连续,有定义,例3: 讨论函数 在 处的连续性,解：,有定义,故该函数在 处连续,有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念,例4:,解,二间断点及其分类,函数的不连续点称为间断点。,如函数 在 不连续，所以间断点为,一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。,三初等函数的连续性,定理：,例如,即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续的（分母为零的点除外）。,定理,即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是连续的。,例如,定理 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。,根据这一结论，求初等函数 在某点 的极限时，如果 在 的定义区间内，则函数 在该点的极限值等于 在该点的函数值 ,即 初等函数求极限的方法代入法.,对初等函数求其间断点或连续区间时，只要求出其无定义的点即为间断点，在定义域内去除间断点便得到连续区间。,例8：求函数 的间断点和连续区间,解：,间断点为：,连续区间：,作业布置,