第八章应力、应变分析基础ppt课件.ppt

第八章 应力应变分析基础,材料力学,81 应力状态的概念82 二向应力状态分析83 三向应力状态的最大应力84 平面应力状态下的应变分析8-5 广义虎克定律8-6 三向应力状态下的弹性能密度,第八章 应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,低碳钢,铸铁,8-1 应力状态的概念,应力、应变分析基础,一、问题的提出 ：,1、低碳钢和铸铁拉伸时的破坏现象,2、低碳钢和铸铁扭转时的破坏现象,铸铁,低碳钢,应力、应变分析基础,三、一点处应力状态的表示方法单元体 (element)： a、每一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,二、一点处的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（state of stress at a given point）。,应力、应变分析基础,四、切应力互等定理: 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,应力状态的九个应力分量中，独立的只有六个，即：,证明：单元体平衡,应力、应变分析基础,例8-1-1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力、应变分析基础,五、主单元体、主平面、主应力：,3、 主单元体(Principal Element)： 各侧面上切应力均为零的单元体。,1、 主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,2、 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,4、主应力排列：按代数值大小，,应力、应变分析基础,6、二向应力状态（state of biaxial stress ）：只有一个主应力为零，另两个主应力不为零。,7、单向应力状态(state of one dimensional stress ）：只有一个主应力不为零，另两个主应力为零。,5、三向应力状态（ state of triaxial stress ）：三个主应力都不为零的应力状态。,应力、应变分析基础,单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般应力分量为零的面的外法线为z。这时有：,平面应力状态：,82 二向应力状态分析,应力、应变分析基础,1、 与截面外法线同向为正；2、a 绕研究对象顺时针转动为正；3、由x逆时针转向截面外法线为正。,图1,设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力、应变分析基础,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,应力、应变分析基础,二、主平面和主应力,应力、应变分析基础,主方向判定：,大偏大小偏小,应力、应变分析基础,大偏大小偏小,应力、应变分析基础,三、最大切应力,应力、应变分析基础,txy,四、单元体两互垂面上的应力关系,应力、应变分析基础,例8-2-1 分析受扭构件的破坏规律。,解：1、确定危险点并画其原始单元体,2、求极值正应力,应力、应变分析基础,4、破坏分析,（剪坏）,（拉坏）,3、求极值切应力,低碳钢,灰口铸铁,应力、应变分析基础,例8-2-2 已知单元体如图，计算斜截面上的应力。,应力、应变分析基础,例8-2-2 单元体如图所示, 试求: (1)指定斜截面上的应力, (2)单元体的主应力大小, (3)主平面的方位.,应力、应变分析基础,解: (1),应力、应变分析基础,(2),(3)主单元体如图所示,画出主单元体,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,消去参数（2），得：,此方程曲线为圆-应力圆（或莫尔圆）,五、应力圆（ Stress Circle）,应力、应变分析基础,图2,建立应力坐标系，如图2， （注意选好比例尺）,1、应力圆的画法,在坐标系内画出点 A(x， xy)和 B(y， yx),AB与 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，AC为半径画圆应力圆。,图1,应力、应变分析基础,图1,2、单元体与应力圆的对应关系, 点面对应关系： 应力圆单元体 点一个面 坐标面上的应力, 面的法线 应力圆的半径, 夹角关系：应力圆两半径夹角2 单元体两面夹角 ；且转向一致。,图2,应力、应变分析基础,3、在应力圆上标出极值应力,应力、应变分析基础,例8-2-7 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),解：、建立应力坐标系,在坐标系内画出点,、AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆。,应力、应变分析基础,、主应力及主平面如图,应力、应变分析基础,解法2解析法：建立坐标系如图,x,y,O,60,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,83 三向应力状态的最大应力,应力、应变分析基础,1.弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,2.整个单元体内的最大、最小切应力：,图b,3.最大正应力：,应力、应变分析基础,例8-3-1 求图示单元体的主应力和最大切应力。(MPa),解：由单元体图a知：yz面为主平面,建立应力坐标系如图，画图b的应力圆:,应力、应变分析基础,sx=50MPa ， sy=-40MPa txy=-40MPa ， sz=60MPa,解：(1)确定坐标、写出应力分量,(2)求主应力,s1=65.2MPas2=60MPa s3=-55.2MPa,应力、应变分析基础,84 平面应力状态下的应变分析,一、叠加法求任意方向的应变,正应变：拉伸时为正！剪应变：直角的增大为正！逆时针转向a的为正！,应力与应变分析,1.由ex引起的ea1和ga1,应力与应变分析,2.由ey引起的ea2和ga2,应力与应变分析,3.由gxy引起的ea3和ga3,应力与应变分析,2、已知一点A的应变（ ）， 画应变圆,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,、建立应变坐标系如图,、在坐标系内画出点,、AB与a轴的交点C便是圆心,、以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。,应力与应变分析,、方向上的应变（ ，/2） 应变圆上一点（ ，/2 ）,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,、 方向线 应变 圆的半径,、两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。,应力与应变分析,四、主应变数值及其方位,应力与应变分析,应力与应变分析,五、直角应变花时的应变计算。,例8-4-1 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3方向上的三个线应变1、2、3，求该面内的主应变。,解：由,i =1、2、3这三个方程求出 x，y，xy；然后再求主应变。,应力与应变分析,例8-4-2 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,应力与应变分析,应力与应变分析,解：,应力与应变分析,应力与应变分析,应力与应变分析,应力与应变分析,应力与应变分析,一、单拉下的应力应变关系,二、纯剪的应力应变关系,85 广义虎克定律,应力、应变分析基础,三、复杂状态下的应力应变关系,依叠加原理，得:,应力、应变分析基础,四、平面状态下的应力应变关系:,应力、应变分析基础,1,2,3,五、主应力主应变关系,应力、应变分析基础,六、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力、应变分析基础,例8-5-1: 一直径为d的实心圆轴，两端受扭转力矩m的作用，现测得圆轴表面A点处沿450方向的线应变为 已知材料的弹性常数E和 ，试求扭转力矩m的大小。,应力、应变分析基础,解：圆轴受扭转时，从轴的表面A点处取出一单元体如图所示,应力、应变分析基础,该点的应力状态为纯剪切应力状态作应力圆如图所示:,86 三向应力状态下的弹性能密度,体积应变：,应力、应变分析基础,一般情况下，微元将同时发生体积改变和形状改变，变形比能为：,图b微元只有体积改变，其变形能称为体积改变比能：,图c微元只有形状改变，其应变能称为形状改变比能,应力、应变分析基础,例8-6-1 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,1、纯剪单元体的比能为：,2、纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,1、在下列关于单元体的说法中，是正确的。,、单元体的形状必须是正六面体。、单元体的各个面必须包含一对横截面。、单元体的各个面中必须有一对平行面。、单元体的三维尺寸必须为无穷小。,应力、应变分析基础,本章习题,一、选择题,2、 对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是： 、a点； 、b点； 、c点； 、d点,应力、应变分析基础,、在滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点处的应力状态是应力状态。,、纯剪切。、单向。、二向。、三向。,应力、应变分析基础,4、在受力构件内任一点，随着所取截面的方位不同，一般来说，各个面上的。,、正应力相同，剪应力不同。、正应力不同，剪应力相同。、正应力和剪应力均相同。、正应力和剪应力均不同。,应力、应变分析基础,5、研究一点应力状态的任务上。,、了解不同横截面上的应力变化情况。、了解横截面上的应力随外力的变化情况。、找出同一横截面上应力变化的规律。、找出一点在不同方向横截面上的应力变化规律。,应力、应变分析基础,6、在单元体的主平面上，。,、正应力一定最大。、正应力一定为零。、剪应力一定最小。、剪应力一定为零。,应力、应变分析基础,7、在下列说法中，是正确的。,、在有正应力作用的方向，必有线应变。、在无正应力作用的方向，必无线应变。、在线应变为零的方向，正应力也一定为零。、在正应力最大的方向，线应变也一定最大。,应力、应变分析基础,1、图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力； 主应力并画出主单元体；最大切应力。,应力、应变分析基础,二、计算题,应力、应变分析基础,2、 分析圆轴扭转时的应力状态。,应力、应变分析基础,解：1）围绕圆轴外表面一点取单元体ABCD,5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断。,6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。,4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力。,应力、应变分析基础,3、试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,解： 给定应力状态中有一个主应力是已知的，即z=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,x=300MPa，y=140MPa，xy=-150MPa，因此：,根据1、2、3的排列顺序，可知： 1=390MPa，2=90MPa，3=50MPa,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,单元体内的最大剪应力：,应力、应变分析基础,4、在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,应力、应变分析基础,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变2 的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,应力、应变分析基础,本章结束,