第二节复化求积公式和龙贝格求积公式ppt课件.ppt

,第三节 复化求积公式,一、复化梯形公式：,将积分区间 n等分：,分点,在区间 上采用梯形公式,复化梯形公式,复化梯形公式的几何意义,小梯形面积之和近似,复化梯形公式的余项,设,，则余项估计式为：,的误差是二阶的。,由上式可知，误差与 同阶，此时称复化梯形公式,误差的阶数越高，精度越好！,二、复化辛蒲生公式：,分点,在区间 上采用辛蒲生公式,其中,将积分区间 n等分：,复化辛蒲生公式,复化辛蒲生公式的几何意义,小抛物面积之和近似,复化辛蒲生公式的余项,设,，则有余项估计式,复化辛蒲生公式中“半点”的处理,可将整个区间等分成偶数个小区间，每两个小区间,合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。,类似地，可以得到复化柯特斯公式,它的余项为,例2：将0,1区间八等分，根据如下函数值表，利用复化梯形公式、复化辛蒲生公式计算积分 的近似值。,解：,分别采用复化辛蒲生公式、复化梯形公式,复化梯形公式,复化辛蒲生公式,复化梯形公式(n = 8)，,复化辛蒲生公式(n = 4)，,（1）使用复化梯形公式、辛蒲生公式，首先要确定步长 ；,（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；,（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；,（4）计算机上实现起来不方便，通常采用 “事后估计法”。,三、积分步长的自动选取：,注意事项：,基本思想：,将积分区间逐次分半，比较前后两次的近似值,终止法则：,前后两次近似值的误差小于已知精度,具体过程（以复化梯形公式为例）,1、首先将区间 n等分：,2、再将区间 2n等分，即步长减半：,上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。,3、终止条件：,由复化梯形公式的余项知,由此得到近似关系式,误差控制条件,例3：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算积分 的近似值，要求误差不超过 。,解：,先在整个区间上用梯形公式,然后将区间二等分，利用递推公式求出,递推公式,进一步二分积分区间，类似可求出,如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果,k 表示二分次数，区间数,由表中可以看出，对分8次和对分7次之间的差,因而 是满足精度要求的解。,收敛速度慢,对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到,加速收敛,应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较,第四节 龙贝格求积公式, 龙贝格积分思想,由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值,的误差大约为：,令,由复化梯形公式知,梯形公式的加速方法：,龙贝格积分公式正是由此产生！,上述公式说明：,龙贝格 值序列,辛蒲生加速公式：,柯特斯加速公式：,类似于梯形加速公式的处理方法，得到：,柯特斯 值序列,上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近似值的方法，称之为外推法。,4个积分值序列：,梯形值序列,辛蒲生值序列,龙贝格值序列,柯特斯值序列,外推法的计算步骤,例3：利用龙贝格积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位。,解：,根据龙贝格积分法计算得,具体结果见下表,精确值为 0.91629073187415506518352721176801,