第一章矩阵论ppt课件.ppt
矩阵论,南京邮电大学理学院 许立炜,第一章 线性空间与线性变换,线性空间是对所有与 维向量空间具有同样性质的客观事物的数学抽象. 线性变换是线性空间映入到自身的一种特殊的映射，它保持了加法与数乘运算的对应关系.本章内容既是线性代数知识的深化和提高，也是学习本书的基础.,第一节 线性空间的基本概念,一.数域,定义 设P是包含0和1的数集，若P中数的和、差、积、商（0不作除数）均在P内，则称P是一个数域.,例1数集 是一个数域。,定义 若集合上定义了某种运算，而中任意元素进行这种运算所得的结果均仍在中，则称集合对这种运算封闭.,定义 设P是包含0和1的数集，若对加、减、乘、除（0不作除数）运算封闭，则称P是一个数域.,1、线性空间的定义,二.线性空间的定义与性质,定义,例2n维向量空间 （及其子空间）按照向量的加法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。,例3全体 实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为 .,例4区间a,b上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为Ca,b.,例6全体次数等于n的实系数多项式，在多项式的加法及数与多项式的乘法运算下不能构成一个线性空间.,例7齐次线性方程组AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间；而非齐次线性方程组的全体解向量，在上述两种运算下不构成一个线性空间.,例8仅含有零向量的集合0按照向量的加法以及向量与复数的数乘构成一个复线性空间，称为零空间.,V中只有一个零向量；V中每个向量只有一个负向量；0a=0，k0=0，(-1)a=-a；若ka=0，则k=0或a=0,2、线性空间的性质,第二节 基、坐标与维数,1有关概念,一.向量组的线性相关性,定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向量 ,若存在一组不全为零的数 ，使得 ，则称 线性相关. 否则称 线性无关.,2有关结论,（1） 线性无关,（2）一个向量 线性相关 ；两个以上的向量 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.,（3）若 线性无关,但 线性相关，则 可由 线性表示，且表示法唯一.,（5）如果向量组 线性无关，并且可由向量组 线性表示，则 .,（6）等价的线性无关组必定含有相同个数的向量.,（4）线性无关组不含零向量.,二.线性空间的基与维数,1基与维数,定义1.5 设V是一线性空间, 若 ,满足（1） 线性无关；（2）V中任一向量都可由 线性表示；则称 是线性空间V的一组基，n称为V的维数，记为dimV，并称V为n维线性空间, 记为 ,此时V也称是有限维线性空间.,如果对预先指定的任何正整数N，在V中总可以找到N个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间; 如：C0,1在本书中，只讨论有限维空间；零空间0是零维的，没有基；n维线性空间V中最多有n个线性无关的向量；n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的一组基.,2向量的坐标,定义1.6 设 是n维线性空间V的一组基，对 ， 可由 线性表示，且表示法唯一，若（1.1）记 ，称 是 在基 下的坐标.（1.1）式也常记为 的形式.,例 在 中, 易证 , 是 的一组基, 中任一元素 , 在这组基下的坐标是 .,例在 中，容易验证是其一组基， 中任一元素 在这组基下的坐标是 .,由这两个例子可看出，在数域P上的n维线性空间V中取定了一组基后， V中的元素通过（1.1）式与数域P上的n维向量建立了一一对应的关系:当V是n维实线性空间时, V与 之间就建立了一一对应的关系，且此映射保持了线性关系的不变，这种映射称为同构映射，此时称V与 同构。,例 求 中的秩和极大无关组.,n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的一组基.同一个向量在两组基下的坐标是不同的，下面主要研究同一个向量在不同基下的坐标之间的联系.,三.基变换与坐标变换,定义1.7 设 和 是n维线性空间V 的两组基，显然它们可以互相线性表示，若将上式用矩阵形式表示成 （1.2）则 称为由基 到基 的过渡矩阵.（1.2）式称为基变换公式.,注:基变换公式（1.2）只是一个形式表达式，不是真正意义上的矩阵等式.,下一定理将给出过渡矩阵的性质及不同基下坐标之间的关系.,注：（1.3）式就是n维线性空间V中向量在两组基下的新旧坐标之间的坐标变换公式.,定理1.1 设 和 是n维线性空间V的两组基，由基 到 的过渡矩阵为C，则C是可逆的；且如向量在这两组基下的坐标分别是X与Y，则 X=CY （1.3）,例1.16在 中取两组基求由基 到基 的过渡矩阵.,第三节 线性子空间,一.子空间的概念,定义 设V为数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间.,对任何线性空间V ,显然由V中单个零向量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平凡子空间.,定义 设V为数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间.,一.子空间的概念,定理1.2 设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间的充要条件是：W对V中的线性运算封闭.,例 函数集合 是线性空间Ca,b的子空间.,例 函数集合 不是线性空间Ca,b的子空间.,例 取 的子集证明W是 的子空间，并求W的维数.,设向量组 与向量组 等价，则 .,例 设V为数域P上的线性空间，是V中的一组元素，则是V 的子空间，称为 的生成子空间， 称为该子空间的生成元.,定理1.3 线性空间V的任何一个子空间W的基都可以扩充成V的一组基.,二.子空间的交与和,定理1.4 设V是数域P上的线性空间， 是V的两个子空间，则 与 都是V的子空间.,定理1.5 （维数定理）设V是数域P上的线性空间， 是V的两个子空间，则,例1.24 设 , ,其中求 与 的基与维数.,需要指出的是, 在 中, 元素 的分解式一般是不唯一的. 如：例1.24中 ，或可见零元素的分解式不唯一. 针对这种现象，下面讨论子空间的一种特殊的和.,三.子空间的直和,定义 设 是线性空间V的两个子空间，若 中每个元素 的分解式是唯一的，则称 为直和, 记为 .,下面的定理给出了判断子空间是否是直和的充分必要条件.,定理1.6 设 是线性空间V的两个子空间，则下列条件等价：（1） 是直和；（2） 中零元素的分解式唯一，即由 0可推出 0；（3） ；（4）若 与 分别是 的线性无关组, 则 也线性无关；（5） .,推论 设 是线性空间V的两个子空间，若 是直和，则.,值得一提的是, 该结论的逆命题不成立. 如中，取子空间 与 ，显然 ，且成立但 0可见零元素的分解式不唯一，即不是直和.,定理1. 7设 是线性空间 的一个子空间，则必存在 的一个子空间 ，使,第四节 线性变换,一.线性变换的定义,定义 设 分别是数域P上的n维和m维线性空间，如果映射 保持加法和数量乘法运算，即对 ，都有则称T是线性空间 到 的一个线性映射. 表示向量 在线性变换T下的象.,注：1.当 时，称T为线性空间 上的一个线性变换.,2.设A为阶方阵， 上的线性变换 满足线性变换定义中的两个条件，可见，本节讨论的线性空间V上的线性变换是 上的线性变换的推广.,3.定义中的两个条件可用下述条件代替：,4.线性变换就是保持线性组合不变的变换.,例 设映射 , 定义为 , 其中c是一个常数，T是 上的一线性变换，通常叫数乘变换. 它的几何意义是把 中的向量放大或缩小c倍. c = 0时，此线性变换叫零变换，记住O. c = 1时，此线性变换叫恒等变换，记住I.,例 中的向量 在自然基 下的坐标为 ，定义映射 为： ，易验证：f是 上的一线性变换. 其几何意义是把 中的向量投影到xoy-面, 通常叫投影变换.,二.线性变换的性质,1.,3. 线性变换把线性相关的元素组变成线性相关的元素组.,4. 若线性变换是单射,则把线性无关的元素组变成线性无关的元素组.,2.,三.线性变换的运算,定义 设V是数域P上的线性空间， 都是V上的线性变换，则定义如下运算：（1）变换的加法 ： ；（2）变换的数乘 ： ；（3）变换的乘法 ： ；（4）可逆变换：对变换 ，若存在变换 ，使得 （恒等变换），则称 为可逆变换, 是 的逆变换,记为 .,注：,上述线性变换运算的结果仍是线性空间上的线性变换；线性变换T可逆的充分必要条件是T为一一对应的；若线性变换T可逆，则其逆变换是唯一的；线性变换的乘法一般不满足交换律；对线性变换，当n个T 相乘时，常用T的n次幂来表示。,第五节 线性变换的矩阵,在有限维线性空间中取定一组基后，就可将一个线性变换与一个矩阵对应，这为用矩阵的方法来研究线性变换提供了依据.,一.线性变换在给定基下的矩阵,定义 设T是n维线性空间V上的一个线性变换， 是V的一组基，如果这组基在线性变换T下的象 由这组基线性表示为 （1.6）,记 ,（1.6）式可以形式上用矩阵乘法表示为其中则n阶方阵A就称为线性变换T 在基下的矩阵. 其中A的第j列就是 在这组基下的坐标.,注：矩阵A由基在T下的象唯一确定.,例 , 投影变换（1）求 f 在自然基下的矩阵；（2）求 f 在基 下的矩阵；,线性变换与矩阵的一一对应还表现在它们的运算等方面的一致性.,定理1.8 设 是线性空间V的一组基, T和S是V的两个线性变换, 且它们在这组基下的矩阵分别是A和B，则（1）T +S在这组基下的矩阵是A+B ；（2）kT在这组基下的矩阵是kA；（3）T S在这组基下的矩阵是AB ；（4）T可逆的充分必要条件是矩阵A可逆，且 在这组基下的矩阵是 ； （5）设线性空间V中任一元素 与其象 在这组基下的坐标分别X与Y，则Y = AX .,二.线性变换在不同基下的矩阵,定理1.9 设线性空间V上的一个线性变换T在两组基 与 下的矩阵分别是 A和 B，若由基 到基 的过渡矩阵为C, 则,定理1.9 线性空间上的一个线性变换在的不同基下的矩阵是相似矩阵.,注：相似的等价类中的矩阵代表的是同一个线性变换，是同一个线性变换在不同基下的矩阵.,第六节 线性变换的值域、核及不变子空间,一.值域与核的定义,定义 设T是线性空间V上的线性变换，则T的全体象组成的集合称为T的值域，记为R(T )，即而所有被变成零元素的原象组成的集合称为T的核，记为 ，即,例求 上的投影变换 ，的值域与核,二.值域与核的相关理论,定理1.10 设T是线性空间V上的线性变换，则T的值域与核都是V的子空间.,定义 设T是线性空间V上的线性变换， 的维数称为T的秩, 记为rankT ；而 的维数称为T的零度或亏度，记为nullT.,定理1.11设T是n维线性空间V 上的线性变换,且T在V的一组基 下的矩阵是A,则（1）T的值域R(T)是 的生成子空间，即（2）T的秩 = A的秩.,定理1.12 设 分别是数域P上的n维和m维线性空间， 的线性映射，则,例设 ，在 上的线性变换定义为 ， ，求T的值域及核子空间的基与维数，并问 是否是直和？,三. 不变子空间,定义 设T是数域P上线性空间V的线性变换, W是V的子空间, 若对 , 有 ，则称W是T的不变子空间。,注：整个线性空间V及V的子空间0对任意线性变换T，都是不变子空间，称为T的平凡不变子空间。,例 T的值域和核都是T的不变子空间。,例 若线性变换 与 可交换, 即 ,则 的值域和核都是 的不变子空间。,第七节 线性变换的同构,一.同构映射的定义,定义 设V,U分别是数域P上的线性空间, 如果存在线性映射 又是V 到U的一个一 一映射（即既是单射又是满射），则称线性空间V与U同构. T 称为同构映射.,由定义知： V与U同构 V与U之间有一一对应关系，且这种对应关系保持加法与数乘的不变.,例 设 是所有正实数的集合，建立 的映射：验证这样定义的映射T是 到 的同构映射，即 与 同构.,二.同构映射的性质,定理1.13 V与U是数域P上的两个线性空间, T是V到U的同构映射, 则V中元素 线性无关的充要条件是 也线性无关.,三.同构的充要条件,定理1.14 数域P上的两个有限维线性空间V与U同构的充要条件是,这一结论与1.2节中通过元素的坐标得到的有关同构的结论是一致的.,推论 R上的n维线性空间与 同构； C上的n维线性空间与 同构.,
