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空间中的垂直关系 习题课,教学目标1线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化2线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用,基础知识,两条相交直线垂直,垂直于,基础知识,垂线,基础知识,交线,变式：如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA面ABC,问:图中共有多少个Rt?,【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.,思考1 线线垂直问题,如图所示，PA面ABC,BC面PAC，则图中有哪几个直角三角形？,变式：如图所示，PA面ABC,在ABC中，BCAC，则图中直角三角形的个数是,【解析】PA面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB为圆O的直径,ACBC.又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面PAC.PC 平面PAC,BCPC.故图中有四个直角三角形:PAC,PBC,PAB,ABC.,【典例探讨】 例1、如图所示，在空间四边形ABCD中，ABAD，CBCD，求证BDAC.,【典例探讨】 例1、如图所示，在空间四边形ABCD中，ABAD，CBCD，求证BDAC.,证明：取BD的中点E，连接AE、CE，ABAD，AEBD，又CBCDCEBD，又AECEE，AE 平面ACE，CE 平面ACE，BD平面ACE.又AC 平面ACE,BDAC.,【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.,例2、平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，判断PO与平面ABCD的位置关系，并加以证明。,证明：PO平面ABCD.O为平行四边形ABCD对角线的交点，OAOC.又PAPC,POAC.同理POBD.又ACBDO，AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，PO平面ABCD.,线面垂直问题,【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.,例3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点求证：平面PAC平面BDD1.,面面垂直问题,证明：长方体ABCDA1B1C1D1中， ABAD1， 底面ABCD是正方形， ACBD， 又DD1平面ABCD，AC平面ABCD， DD1AC， 又DD1BDD， DD1平面BDD1，BD平面BDD1， AC平面BDD1， 又AC平面PAC, 平面PAC平面BDD1.,跟踪练习：如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC于点A，ADBC于点D，求证：平面PBC平面PAD.,证明：PA平面ABC，且BC平面ABC， PABC， 又ADBC，PAADA， 且AD平面PAD，PA平面PAD， BC平面PAD， BC平面PBC， 平面PBC平面PAD.,【评析】当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面； 在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决.,2、要证明想判定，由已知想性质,探究：如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC， 求证：BC平面PAB,探究：如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC， 求证：BC平面PAB,E,证明：过点A作AEPB于E，平面PAB平面PBC， 平面PAB平面PBC=PB， AE 平面PAB ， AE平面PBC.BC平面PBC, AEBC,PA平面PAB,AE平面PAB, 且PAAE=A，BC平面PAB,PA平面ABC，BC平面ABC,PABC,答案：1、A 2、3、证明：作SOBC，垂足为O，连接AO， 侧面SBC底面ABCD， 平面SBC平面ABCD=BC， 且SO平面SBC， SO底面ABCD. AO，BO平面ABCD， SOAO，SOBO. 又SASB， AOSBOS AOBO. 又ABC45，故AOB为等腰直角三角形， 即AOBO， 又BCSO，且SOOAO， BC平面SOA， SA平面SOA , SABC.,