矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt
2022年11月13日星期日,1,第三章,矩阵的特征值与特征向量,2022年11月13日星期日,2,第三章 矩阵的特征值与特征向量,1 方阵的特征值与特征向量,2 矩阵的对角化,2022年11月13日星期日,3,第1节,方阵的特征值与特征向量,2022年11月13日星期日,4,定义3.1,3.1.1 特征值与特征向量的基本概念,2022年11月13日星期日,5,例1,解,是,不是,2022年11月13日星期日,6,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,2022年11月13日星期日,7,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵A的特征值与特征向量？,2022年11月13日星期日,8,矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2,A的特征方程,A的特征多项式,A的特征矩阵,特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。,2022年11月13日星期日,9,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵A的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3.对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于,的全部特征向量。,2022年11月13日星期日,10,例2：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,2022年11月13日星期日,11,得基础解系,得基础解系,2022年11月13日星期日,12,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,2022年11月13日星期日,13,对应的特征向量可取为,2022年11月13日星期日,14,3.1.2 特征值与特征向量的性质,定理1,定理2,推论,若 n 阶方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关。,2022年11月13日星期日,15,定理3,2022年11月13日星期日,16,(2) 由于,2022年11月13日星期日,17,定理4,设 A 是 n 阶方阵，,是,的特征值.,若 为 A 的特征值，则,2022年11月13日星期日,18,例3,设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,（1） A的主 对角线元素之和（2）,解,的特征值依次为,2022年11月13日星期日,19,例4,试证 n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。,证明,因为,为A的特征值）,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零。,2022年11月13日星期日,20,第2节,矩阵的对角化,2022年11月13日星期日,21,定义3.3,设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，使得,则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,记做AB.,性质,（1）反身性 A相似于A,（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A,（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。,3.2.1 相似矩阵及其性质,2022年11月13日星期日,22,方阵的迹定义3.4,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例5,Tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1),2022年11月13日星期日,23,性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1),2022年11月13日星期日,24,相似矩阵的性质,若A和B相似，则,A和B有相等的秩。,2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2),证明（1）,2022年11月13日星期日,25,3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2),4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH5,推论,如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。,2022年11月13日星期日,26,定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。,充分性,3.2.2 矩阵的对角化,2022年11月13日星期日,27,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B，使得,由B可逆便知：,都是非零向量，因而都是A的特征,向量，且,线性无关。,2022年11月13日星期日,28,推论,如果n阶矩阵A的特征值,互不相同,则A相似于对角矩阵,定理3.7,n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.,2022年11月13日星期日,29,相似变换,若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵,2022年11月13日星期日,30,例 矩阵 A = 能否相似于对角阵？,解 =(- 2)(-1)2,所以 A的特征值为 1 = 2 2 =3 = 1,对于 2 =3 = 1，解方程组 (I A )= 0对系数矩阵作初等变换,2022年11月13日星期日,31,解方程组 得通解,为任意常数）,因为 2 =3 = 1 是二重根，而对应于2 =3 = 1无两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。,2022年11月13日星期日,32,例 用相似变换化下列矩阵为对角形,解:,A的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,2022年11月13日星期日,33,2022年11月13日星期日,34,练一练,用相似变换化矩阵为对角形.,2022年11月13日星期日,35,应用 :利用对角化计算矩阵的乘方,2022年11月13日星期日,36,设,解:,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例7,2022年11月13日星期日,37,2022年11月13日星期日,38,2022年11月13日星期日,39,THE END.,P88将一个方阵A对角化的三步骤.思考?第三章作业:1(4),3,7,9,10(3),11,15,16,2022年11月13日星期日,40,练习 已知,问 满足什么条件时，A可对角化？,解 首先,所以，A的特征值为2（重数为1）和1（重数为2）。,2022年11月13日星期日,41,考虑 A的特征值 1。对方程组 ，仅当 秩 时，才能使基础解系含 2个解向量。,又,故 。,所以，当 时，A可对角化。,
