材料力学第9章应力状态分析ppt课件.ppt

第九章 应力状态分析,本章主要内容应力状态的概念二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的图解法三向应力状态简介广义胡克定律复杂应力状态下的应变比能,只存在t：自由扭转、梁截面中性轴处,一、为什么要研究一点的应力状态,9-1 应力状态的概念,1、sa和ta是a的函数，需要研究一点处不 同方位上的应力情况，找到smax和tmax,2、全面进行强度计算的需要,一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。,只存在s：轴向拉压、梁截面上下边缘, 同时存在s和t：梁截面其它各点,如何进行强度计算，强度条件如何建立？,a,a,二、研究一点应力状态的方法,单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。（一个面的两侧）,9-1 应力状态的概念,单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）,单元体的特点：,只要知道单元体三对相互平行面上的应力，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，因此可用单元体三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。,三、主平面、主应力与主单元体,主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。, 主平面：切应力为零的截面（t =0）。,主应力：主平面上的正应力。,可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中，一定存在三对相互垂直的截面，这些截面上的切应力t =0，只有正应力s。三个主应力记为：,例：已知三个主应力数值为：,四、应力状态分类,1、单向应力状态,三个主应力只有一个不等于0,2、二向应力状态,3、三向应力状态,三个主应力有两个不等于0,三个主应力全不等于0,简单应力状态,复杂应力状态,单向应力状态,二向应力状态,三向应力状态,平面应力状态,空间应力状态,9-2 平面应力状态分析,1、正负号规定：,一、斜截面上的应力,：拉为正压为负，：绕单元体内部一点顺时针转为正，逆时针为负。逆时针为正，顺时针为负。,截面法,2、解：,应力平衡（）,力平衡（）,各面上的力,9-2 平面应力状态分析,一、斜截面上的应力,解：,数学整理,关系式,3、讨论：,结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力符合切应力互等定理。,空间应力状态（弹性力学）,应力张量的第一、第二和第三不变量。,二、应力圆,圆的方程,德国,1895年提出,1、应力圆的绘制,: 确定点D1(sx,tx),: 确定点D2(sy,ty) tx= -ty,: 连接D1D2与s 轴交于C点,: 以C为圆心，CD1（ CD2 ）为半径画圆。,试作图示单元体的应力圆,: 建立-坐标系,C,二、应力圆,证明：,1、应力圆的绘制,试作图示单元体的应力圆,二、应力圆,2、应力圆求斜截面上的应力,试求图示单元体截面上的应力,2、以CD1为起始半径，按的旋转方向旋转2，得到E点。,1、作单元体的应力圆,E点的坐标即为：,只需证明：,E,F,2、应力圆求斜截面上的应力,式中：,F,E,试求图示单元体截面上的应力,2、应力圆求斜截面上的应力,作应力圆应注意的几点：,、正负号，与应力圆上点的象限关系。点面对应关系：应力圆上一点对应于单元体中某一截面；,单元体上A、B面夹角，应力圆上弧长AB的圆心角为2 角,且转向一致。,起始半径选择：需视角从哪一个轴开始度量；与2对应：单元体上斜截面方位角，对应于应力圆上为2 角，自起始半径旋转，且与转向一致；,试求图示单元体截面上的应力,E,3、主应力、主平面与主单元体,注意A1、A2点,A1点如何得到？,以CD1点为起始半径，顺时针旋转20至CA1即可。,3、主应力、主平面与主单元体,注意A1、A2点,A1点如何得到？,以CD1点为起始半径，顺时针旋转20至CA1即可。,将负号放在分子上，以此确定的20的象限，0为1与x之间的夹角。,3、主应力、主平面与主单元体,注意A1、A2点,作D1K轴，交圆与K点，则A2K方向即为 1方向。 K点称为主点。,3、主应力、主平面与主单元体,3、主应力、主平面与主单元体,主应力方位所在的象限与正应力无关。,3、主应力、主平面与主单元体,1的方位均在2、4象限内,4、切应力极值,例题1,试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。,解:,1、斜截面上的应力,例题1,试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。,解:,重新排序,1、斜截面上的应力,2、主应力,例题1,试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。,解:,1、斜截面上的应力,2、主应力,3、方位,4、主单元体,例题1,试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。,解:,1、斜截面上的应力,2、主应力,3、方位,4、主单元体,5、讨论,例题1,试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。,E,: 作应力圆,: 利用应力圆求：,: 选择比例尺，建立-坐标系,量得：,: 作主单元体,例题2,几种典型的单元体、应力圆,纯切应力状态,单向,二向,例题3,试作图示单元体的应力圆,9-3 梁的主应力、主应力迹线,一、梁截面内特征点的应力状态分析,1、a点：单向应力状态,2、e点：单向应力状态,3、c点：纯切应力状态,9-3 梁的主应力、主应力迹线,一、梁截面内特征点的应力状态分析,二向应力状态,4、b、d两点：,二、梁的主应力迹线,主应力迹线,主拉应力迹线,主压应力迹线,9-3 梁的主应力、主应力迹线,根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的主拉应力方向；,在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。,由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。,三、主应力迹线绘制及特点,9-3 梁的主应力、主应力迹线,1、绘制,将梁划分成若干网格，计算节点的主应力方向。根据各点主应力方向，按主应力迹线的特点勾绘出主应力迹线。,2、特点,主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交；主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成45在弯矩最大，剪力为0的截面上，主应力切线方向与轴线平行在梁的上下边缘处与梁轴线平行或正交。,3、工程应用,在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按1的迹线方向配置。,一、三类特殊平面上的应力,三向应力状态是最一般的应力状态，在弹性力学中详细分析，（解析法，图解法），本节只介绍应用应力圆求其最大的应力。,1、平行于3斜面上的应力,9-4 三向应力状态的最大应力,前后两个面上(3作用面）是一对相互平衡的力，该斜截面上的应力（ ，）与3无关，只由1和2确定。,2、平行于2斜面上的应力,3、平行于1斜面上的应力,一、三类特殊平面上的应力,9-4 三向应力状态的最大应力,1、平行于3斜面上的应力2、平行于2斜面上的应力3、平行于1斜面上的应力,二、其他任意斜截面上的应力,研究表明: 对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在 - 坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。,三、最大的应力,一、广义胡克定律,单向应力状态胡克定律:,横向应变:,剪切胡克定律:,9-5 广义胡克定律、体积应变,图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向均产生线应变。,主应变:主应力方向的线应变,1、1方向的主应变,(分别求每个主应力引起的线应变，再叠加),+,+,a）主应力单元体,一、广义胡克定律,9-5 广义胡克定律、体积应变,2、 2 、 3方向的主应变,同理可得,a）主应力单元体,+,+,1、1方向的主应变,一、广义胡克定律,9-5 广义胡克定律、体积应变,a）主应力单元体,b）一般单元体,可以证明，在线弹性，小变形条件下，各向同性材料正应力只引起线应变，切应力只引起同一平面内的切应变。线应变只和正应力有关，与切应力无关；切应变只和切应力有关，与正应力无关。,一、广义胡克定律,9-5 广义胡克定律、体积应变,广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之间的物理关系，称为广义胡克定律,应力分量,应变分量,三个弹性常数间关系,a）主应力单元体,b）一般单元体,例题4,例题5,铝块内取一单元体分析:,平衡条件可求吗？,因铝块较软，可视槽型钢块不变形。,若采用主应力记号，则：,一、广义胡克定律,9-5 广义胡克定律、体积应变,二、体积应变,体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。,9-5 广义胡克定律、体积应变,该式表明任一点的体积应变与该点处三个主应力之和成正比。,例:平面纯切应力状态有：,故其体积不发生变化。,在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。,一般空间应力状态：,体积应力：,体积模量:,纯切应力状态,一、广义胡克定律,二、体积应变,9-6 空间应力状态下的应变能密度,弹性体在外力作用下，将产生变形， 外力对弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的损失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在弹性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形能全部转化为其他形式的能量。,弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。,在数值上等于外力所作的功。,一、拉压杆的变形能,9-6 空间应力状态下的应变能密度,弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。,在数值上等于外力所作的功。,一、拉压杆的变形能,应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。,杆内所有点应力状态相同,单向应力状态,应变能密度可视为在其相应的所作的功。,9-6 空间应力状态下的应变能密度,一、拉压杆的变形能,应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。,单向应力状态,二、三向应力状态下的应变能密度,根据叠加原理有：,代入广义胡克定律，化简可得,1、单元体总的应变能密度,应变能密度可视为在其相应的所作的功。,9-6 空间应力状态下的应变能密度,二、三向应力状态下的应变能密度,1、单元体总的应变能密度,2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度,一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变和形状改变。,单元体（b）均匀受拉，不发生形状改变，只是体积变化。,单元体（c）三个主应力之和为零，不发生体积改变，只是形状变化。,平均应力,9-6 空间应力状态下的应变能密度,二、三向应力状态下的应变能密度,1、单元体总的应变能密度,2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度,一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变和形状改变。,平均应力,9-6 空间应力状态下的应变能密度,二、三向应力状态下的应变能密度,1、单元体总的应变能密度,2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度,注意：此公式只能用主应力参与计算,谢谢听讲,