杆件系统有限元法ppt课件.ppt

第四章杆件系统有限元法,第四章 杆件系统有限元法, 4.1 平面及空间桁架结构有限元 4.2 平面及空间刚架结构有限元,1.单元位移模式 如图所示的杆单元，横截面面积为 ，长度为 ，材料弹性模量为 ，设单元有两个节点 ，由于该单元只承受轴向载荷，故节点位移只有轴向位移，节点位移向量为,节点力向量,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,由于单元上两个节点的位移都只有一个自由度，因此可设单元的位移模式为坐标x的一次函数，即,式中： ， 为待定常数，可根据单元的节点位移确定，即：在 节点 时， ， ；在节点 时， ， ，代入上式，得,上式可写为,形函数表示为,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,2.单元应变单元只有轴向应变 ，将位移代入，得,式中： 单元应变矩阵，如下,3.单元应力将应变代入物理方程 ，则,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,式中： 单元应力矩阵，为,4.单元刚度矩阵单元的单元刚度矩阵为,将单元应变矩阵代入上式，可得局部坐标系下桁架单元刚度矩阵为,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,由于平面桁架单元中每个节点有两个自由度，因此将上式进一步扩展，可得到在局部平面坐标系xoy下桁架单元刚度矩阵为,同理，由于空间桁架单元中每个节点有三个自由度，因此桁架单元在局部空间坐标系下的单元刚度矩阵为,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,5.等效节点力 若载荷直接作用在节点上则可作为节点力处理，对于其它载荷情况下的基本原理和相应的公式形式同平面问题，这里不再赘述。,4.1.1 桁架单元刚度矩阵,在以上的推导过程中可以发现，局部坐标是根据单元的几何形状选取的，但不同的单元一般具有不同的局部坐标系，因而不能进行不同单元刚度矩阵间的混合运算，即得不到整个计算模型的有限元计算格式。解决这个问题的唯一途径就是建立整体坐标与局部坐标间的坐标变换，并通过这种交换来得到单元刚度矩阵在整体坐标系下的显式。平面桁架单元如图所示。局部坐标系xoy与整体坐标系 的夹角为 。 节点在局部坐标系中的位移与该节点在整体坐标系中的位移间的关系如下,4.1.2 桁架单元转换矩阵,同理， 节点在局部坐标系中的位移与节点在整体坐标系中的位移间的关系为,4.1.2 桁架单元转换矩阵,则在整体坐标系中的节点位移用局部坐标系中的节点位移表示为,式中， 称为平面桁架单元的转换矩阵，如下,4.1.2 桁架单元转换矩阵,在整体坐标系和局部坐标系中节点力之间的转换关系经推导后，有如下关系式,经过同样的推导过程，可得空间桁架单元的转换矩阵为,4.1.2 桁架单元转换矩阵,可以证明，转换矩阵 的逆矩阵等于它的转置矩阵，即,在局部坐标系下单元的平衡方程表示为,在整体坐标系下单元的平衡方程为,将式转换矩阵代入式，得,即,得,4.1.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵,则桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为,将式局部坐标系下的单元刚度矩阵和转换矩阵代入上式，得平面桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为,4.1.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵,同理，得到整体坐标系下空间桁架单元刚度矩阵为,式中： 、 和 局部坐标 轴在整体坐标系下的方向余弦。,4.1.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵,在组装桁架结构总体刚度矩阵时，首先要计算每一个单元在整体坐标系下的刚度矩阵，这里需要强调的是：单元刚度矩阵一定是在整体坐标系下的，而不是局部坐标系下的；然后进行总体刚度的组装，桁架结构总体刚度矩阵的组装过程与第3章中的平面问题（如三角形单元）是一致的。,4.1.4 总体刚度矩阵,用有限元法求解图示结构的桁架内力，设各杆的EA为常数。,4.1.5 算例,解： （1）单元和节点编码如图所示，图中箭头的指向为局部坐标系的正向。,4.1.5 算例,4.1.5 算例,（2）计算各单元的单元刚度矩阵 。,单元， ；单元， ；单元， ；单元， ；单元， ；单元， ，则,；,（3）形成整体刚度矩阵,4.1.5 算例,（4）形成整体载荷列阵,式中： 、 、 、 节点1、2所对应的支座反力。,（5）建立整体平衡方程，求解位移分量,4.1.5 算例,由节点1和节点2的约束条件，即 ， 划去上式的1、2、3、4行与1、2、3、4列，得,解得节点位移为,4.1.5 算例,（6）求解内力单元在局部坐标系下的内力为 ，则单元1的内力为,同理得,4.1.5 算例,由此可得，单元为零杆；单元受拉，轴力为0.56P；单元受压，轴力为-0.44P；单元受压，轴力为-0.44P；单元受拉，轴力为0.63P；单元受压，轴力为0.79P。,1.无轴向变形的平面梁单元1）单元位移模式如图所示的梁单元为一个无轴向变形的等截面直杆，共有两个节点，节点位移包括挠度和转角，节点力包括剪力和弯矩。,4.2.1 平面刚架单元,单元的节点位移向量表示为,节点力向量表示为,设单元的挠度 的位移模式取为,将单元上两个节点的坐标和相应的位移代入上式，可得单元的位移模式为,4.2.1 平面刚架单元,形函数表示为,2）单元应变 由材料力学可知，梁在发生弯曲变形而引起梁的轴向变形产生的应变称为梁的弯曲应变，可由下式计算,4.2.1 平面刚架单元,将位移代如，可得,式中： 单元应变矩阵，可分块表示为,3）单元应力 梁的弯曲应力的计算公式为,将应变代入上式，可得,式中： 应力矩阵,可分块表示为,4.2.1 平面刚架单元,4）单元刚度矩阵 对于等截面梁单元，单元刚度矩阵为,式中： 截面对主轴的惯性矩。,4.2.1 平面刚架单元,4.2.1 平面刚架单元,5）等效节点力 如果梁上作用有集中力或集中力偶时，在划分单元时，一般将载荷作用点取为节点，在整体载荷列阵中进行叠加。如果梁上作用有横向分布载荷，则等效节点力可由下式计算,将形函数代入上式即可求得等效节点力。几种常见载荷引起的等效节点力如表4.1。,表 4.1 梁上分布载荷引起的等效节点力,4.2.1 平面刚架单元,2.有轴向变形的平面刚架单元 1）单元位移模式 取节点为i和j之间的杆件为梁单元，在节点i和j上所受到的节点力为轴力、剪力和弯矩，即节点力向量为与之相对应的节点位移向量为,4.2.1 平面刚架单元,4.2.1 平面刚架单元,轴向位移 位移模式可取 的线性函数，而挠度 则可用 的三次多项式来表示，即,令,代入节点坐标，得,式中：,则可求得位移模式中的全部参数 和 。于是，梁单元的位移模式便可用节点位移来表示，其矩阵形式为,式中： ， 。,4.2.1 平面刚架单元,若将梁单元的节点位移记为 ，其中节点i和j的位移记为,则,式中,4.2.1 平面刚架单元,则形函数表示为,4.2.1 平面刚架单元,2）单元应变和应力 梁单元受到拉压和弯曲变形后，其线应变可分为两部分：拉压应变 、弯曲应变 。剪切应变对梁挠度的影响是微小的，可以忽略不计，则,式中,则应力表示为,4.2.1 平面刚架单元,式中,3）单元的刚度矩阵。由虚功原理得单元刚度矩阵为,4.2.1 平面刚架单元,当梁截面的高度大于梁长度的1/5时，剪切应变对挠度的影响就必须予以考虑，尤其是在薄壁截面的情形，剪切对挠度的影响将是巨大的。考虑剪切影响时，只需对梁单元的刚度矩阵作如下修正。,4.2.1 平面刚架单元,一般情况下，空间梁单元的每个节点的位移具有六个自由度，对应于六个节点力，如图所示。,4.2.2 空间刚架单元,单元节点位移为 ，其中两节点的位移分别为,单元节点力为 ，其中两节点力分别为,式中： 、 作用于节点i和j的轴向力； 、 、 、 和 方向的剪力； 、 扭矩； 、 、 、 绕 和 轴的弯矩。,4.2.2 空间刚架单元,由虚功原理得空间梁单元的单元刚度矩阵如下,4.2.2 空间刚架单元,至于刚架单元式（4.26）的关系仍然成立，对于平面刚架单元的转换矩阵 如下,对于空间刚架单元的转换矩阵 如下,4.2.3 刚架单元转换矩阵,平面刚架结构如图所示，已知截面面积为0.5m2，惯性矩为1/24m4，弹性模量为30GPa，单元的总体编码为2、1；单元的总体编码为2、3，求刚架结构的节点位移。,4.2.4 算例,解：（1）单元刚度 首先由式（4.55）计算单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵，然后由式（4.60）计算相应的转换矩阵，由题意可知，单元对应的 ，单元对应的 ，最后由（4.26）计算单元在整体坐标系下的刚度矩阵，如下,4.2.4 算例,4.2.4 算例,4.2.4 算例,（2） 整体刚度由于 ，因此在形成总体刚度矩阵时可以不必考虑这些自由度对应的刚阵元素，因为在求解时没有用到这些刚阵元素，因此只需考虑没有被约束的自由度，即 、 、 、 ，则简化后的总体刚度矩阵为,（3） 计算载荷列阵 由表4.1可得各单元得等效节点力，其中单元为均布载荷作用、单元为集中载荷作用，为便于叠加将其扩展成总体坐标系下的等效节点力，如下单元在总体坐标系下的等效节点力为,单元在总体坐标系下的等效节点力为,直接作用在节点上的载荷,4.2.4 算例,同理在形成总体载荷列阵时，也不必考虑被约束自由度对应的元素，即在本例中不必考虑支座反力，只需考虑没有被约束的自由度，则没有被约束自由度所对应的总体载荷应为等效节点力加上直接作用在该节点上的载荷，即将 、 、 中的第4、5、6、9元素相加，如下,（4） 建立方程并求解，有限元方程如下,4.2.4 算例,计算后可得节点位移为,（5）说明 在一般情况下，如果梁上作用有集中力或集中力偶时，在划分单元时可将载荷作用点取为节点，在整体载荷列阵中进行叠加。本例中的单元上作用有集中载荷，因此至少应将单元进一步划分成2个单元进行计算，以保证精度，本例中没有进行划分的原因在于更加深入理解有限元的求解过程。,4.2.4 算例,第四章 结束 谢谢,