有限脉冲响应数字滤波器的设计ppt课件.ppt

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较7.6 几种特殊类型滤波器简介,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，频率响应函数为,(7.1.1),(7.1.2),Hg()-幅度特性，Hg()不同于|H(ej)|, Hg()为 的实函数，可能取负值。 () -相位特性。H(ej)线性相位是指()是 的线性函数，即 () = -, 为常数 （第一类线性相位） 如果()满足下式： () =0 -, 0是起始相位（第二类线性相位）,(7.1.3),(7.1.4),线性相位FIR的时域约束条件 满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点偶对称，即 h(n) = h(N-n-1) (7.1.5) 满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点奇对称，即 h(n) = -h(N-n-1) (7.1.6),(1) 第一类线性相位条件证明：,(7.1.7),要求满足下列条件,(2) 第二类线性相位条件证明：,用同样的方法可得：,2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 1) h(n)=h(N-n-1), N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为,式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为,上式中，由于cosn项对= 0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对= 0,2是偶对称的，可实现各种滤波器。,2) h(n)=h(N-n-1), N=偶数,所以，不能实现高通和带阻滤波器。,对= 0, 2皆为偶对称。,3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数,上式中，由于sin项在= 0,2皆为0，因此幅度特性的特点是对= 0,2是奇对称的，只能实现带通滤波器。,4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上面3)情况，推导如下：,上式中，由于sin项在= 0, 2皆为0，因此幅度特性的特点是对= 0, 2是奇对称的，不能实现低通和带阻，不能实现低通和带阻滤波器。,3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的分别满足：,图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布,4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有,令m=N-n-1,则有,如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，,图7.1.2 第一类线性相位网络结构,图7.1.3 第二类线性相位网络结构,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,7.2.1 窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为Hd (e j) , hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此,相应的单位取样响应hd(n)为,(7.2.1),(7.2.2),为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),线性相位理想低通,我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,我们知道Hd(e j)是一个以2为周期的函数,对h(n)=hd(n)RN(n)进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：,(7.2.4),式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即,(7.2.5),RN()称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ej)写成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：,将H(e j)写成下式：,(7.2.6),图7.2.2 矩形窗对理想低通幅度特性的影响,对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为,加大N只能减小过渡带，并不是减小减小吉布斯效应的有效方法。,7.2.2 常用的窗函数介绍。 设h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为,2. 三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),其频率响应为,(7.2.9),3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,当N1时，N-1N，,图7.2.3 汉宁窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,(7.2.11),其频域函数WHm (e j)为,其幅度函数WHm()为,当N1时，可近似表示为,5. 布莱克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其频域函数为,其幅度函数为,(7.2.14),图7.2.4 常用的窗函数,图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：,一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为49。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为,(7.2.16),表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响,表7.2.2 六种窗函数的基本参数,7.2.3 用窗函数设计FIR滤波器的步骤 (1) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。 (2) 构造希望逼近的滤波器的频响为Hd(ej)，即线性相位的理想滤波器。例如：理想低通,(3) 计算单位取样响应hd(n)。,例如理想低通的hd(n)：,(4) 计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n)=hd(n)w(n),(5) 验算技术指标是否满足要求。,例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。 解: 用理想低通作为逼近滤波器，有,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：,用矩形窗设计：,图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.2.4 窗函数设计FIR滤波器的MATLAB实现 h(n)=fir1(M , wc) M-滤波器的阶数，wc-低通截止频率（归一化） h(n)-单位脉冲响应，采用哈明窗。,h(n)=fir1(M , wc，ftype)可设计高通和带阻滤波器,h(n)=fir1(M , wc，window)可以指定窗函数,hn=fir1(6,0.3)hn = 0.0033 0.0590 0.2492 0.3770 0.2492 0.0590 0.0033,例7.2.2对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f1.5kHz内的衰减小于1dB，阻带2.5kHzf上衰减大于40dB，希望对模拟信号采样后用线性相位的FIR数字滤波器实现滤波，采样频率FS=10kHz，用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求h(n). 希望滤波器的阶数尽量低。解：（1）确定相应的数字滤波器指标（2）为了降低阶数，选择凯塞窗，确定其参数。,（3）以理想低通为逼近滤波器，其通带截止频率为（4）实际设计的滤波器的h(n)为 式中w(n)为长度N=24，=3.395的凯塞窗,实现本例的MATLAB程序为ep722.m fp=1.5; fs=2.5; Fs=10; rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21) M=ceil(rs-8)/2.285/Bt) wc=(ws+wp)/2/pi hn=fir1(M,wc,kaiser(M+1,alph),hn = Columns 1 through 9 0.0039 0.0041 -0.0062 -0.0147 0.0000 0.0286 0.0242 -0.0332 -0.0755 Columns 10 through 18 0.0000 0.1966 0.3724 0.3724 0.1966 0.0000 -0.0755 -0.0332 0.0242 Columns 19 through 24 0.0286 0.0000 -0.0147 -0.0062 0.0041 0.0039,例7.2.3用窗窗函数法设计线性相位的高通FIR数字滤波器，要求通带截止频率 ，阻带截止频率 ，通带最大衰减 ，阻带最小衰减 。解：（1）选择窗函数，并计算窗口长度N. 选择汉宁窗。 （2）构造,（3）求出 （4）求出h(n),7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,1. 基本思想 设希望逼近的滤波器的频响函数用Hd(ej)表示，对它在=0 到2之间等间隔采样N点，得到Hd(k)，,再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n),(7.3.1),(7.3.2),式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数H(z)为,(7.3.3),(7.3.4),2. 频率采样法设计线性相位滤波器对Hd(k)的约束条件 FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是：,(7.3.5),(7.3.6),(7.3.7),奇数,偶数,在= 02之间等间隔采样N点，,将=k代入(7.3.4)(7.3.7)式中，并写成k的函数：,(7.3.8),(7.3.9),奇数,偶数,(7.3.10),(7.3.11),设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数为N，Hg(k)和(k)用下面公式计算： N为奇数时，,(7.3.12),其中,的最大整数,N=偶数时，,(7.3.13),3. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为Hd(ej)，对应的单位取样响应为hd(n)，,则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN(n)，即,由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为,图7.3.1 理想低通滤波器 增加过渡d带采样点, 例7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率c=/2 rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况。 解： 用理想低通作为逼近滤波器。,对理想低通幅度特性采样情况如图7.3.2所示。将采样得到的,图7.3.2 对理想低通进行采样,图7.3.3 例7.3.1的幅度特性,幅度特性,增加一个过度点的幅度特性，H1=0.5,增加一个过度点的幅度特性，H1=0.3904,图7.3.4 例7.3.1(N=65)有两个过渡点幅度特性,图7.3.4 例7.3.1(N=65)有两个过渡点幅度特性,4. 用频率采样法设计FIR数字滤波器的步骤 (1) 根据阻带最小衰减，选择过渡带采样点的个数m。 (2)根据过渡带宽度Bt，估计频域采样点数N。 (3) 构造希望逼近的滤波器的频响为Hd(ej)，即线性相位的理想滤波器。 (4) 进行频域采样，得到Hd(k),(5) 得到单位脉冲响应 h(n)。 h(n) =IDFTHd(k) (6) 检验设计结果, 例7.3.2 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率p=/3 rad，阻带最小衰减大于40dB，过度带宽度Bt/16. 解： (1) m=1 (2) N=(m+1)2/ Bt = 64 取N=65 (3) 构造Hd(ej)理想低通特性 (4) 进行频域采样，得到Hd(k) (5) 得到单位脉冲响应 h(n)。 (6) 检验设计结果 上述过程可用MATALB编程实现，见程序ep732.m, 例7.3.3 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求采样点数N =21，截止频率为 。 （1）求出频率采样值Hd(k) 和h(n) （2）画出其频率采样结构图 解： (1)用线性相位的理想低通作为逼近滤波器，N =21为奇数，频率采样值应满足：,（2）频率采样结构图为, 例7.3.4 利用频率采样法设计线性相位FIR高通滤波器，要求采样点数N =33，截止频率为 ，设一过渡点，采样值为|H1(k)|=0.39. （1）求出频率采样值Hd(k) （2）求h(n) 解： (1)用线性相位的理想高通作为逼近滤波器，, 例7.3.5 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，要求采样点数N =16，希望逼近的滤波器的幅度采样值为 求出频率采样值Hd(k) 解：,7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器,等波纹最佳逼近法是一种优化设计方法，其使最大误差最小化，并在整个频段上均匀分布。所设计的滤波器幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，并可分别控制同带和阻带的波纹幅度。阶数相同时，该法设计的滤波器的最大误差最小。指标相同时，该法设计的滤波器阶数最低。等波纹最佳逼近法又称为切比雪夫逼近法。,7.4.1 等波纹最佳逼近法的基本思想,如果Hd()表示希望逼近的幅度特性， Hg() 表示所设计滤波器的幅度特性，定义加权误差函数 E() = W() Hd()- Hg() 其中： W() -误差加权函数，用于控制不同频段的 逼近精度，其取值越大，逼近精度越高。等波纹最佳逼近就是在通带和阻带内以 minmax|E() |为准则，求解滤波器系数h(n)。,为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(n-N-1), N=奇数情况，,式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n)，使加权误差E()的最大值为最小，即,等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的过程：(1) 根据给定的逼近指标估算N和W();(2) 利用remez算法得到滤波器的单位脉冲响应h(n)。,hn = remez (M, f, m, w) M-滤波器阶数，f-边界频率向量，m-幅度向量，W-误差加权向量M, fo, mo, w = remezord(f, m, rip, Fs) rip-各逼近频段允许的波纹幅度向量一般以remezord的返回参数作为 remez的调用参数，计算h(n)。,7.4.2 remez和remezord函数及滤波器设计指标,例7.4.1对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f1.5kHz内的衰减小于1dB，阻带2.5kHzf上衰减大于40dB，希望对模拟信号采样后用线性相位的FIR数字滤波器实现滤波，采样频率FS=10kHz，利用等波纹逼近法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求h(n). MATLAB程序为ep741.m Fs=10; f=1.5,2.5; m=1,0; rp=1;rs=40; dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1);dat2=10(-rs/20); rip=dat1,dat2; M,fo,mo,w=remezord(f,m,rip,Fs); M=M+1 hn=remez(M,fo,mo,w), M=M+1M = 15 hn=remez(M,fo,mo,w)hn = Columns 1 through 9 0.0144 0.0321 0.0123 -0.0402 -0.0685 0.0152 0.2000 0.3600 0.3600 Columns 10 through 16 0.2000 0.0152 -0.0685 -0.0402 0.0123 0.0321 0.0144 对于同一设计指标，窗函数法设计的滤波器阶数为23。,图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性,7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,从性能上来说， IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。 FIR滤波器在达到同样指标时，所要求的阶数比IIR高510倍，但能得到严格的线性相位。,从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。 FIR滤波器采用非递归结构，稳定。从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。 FIR滤波器采用程序设计，对计算工具要求高。从适应性和应用场合看，IIR滤波器主要用于设计具有片段常数特性的选频滤波器，应用于对相位要求不高的场合； FIR滤波器灵活，适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器等，可应用于对线性相位要求比较高的场合。,7.6 几种特殊类型滤波器简介,7.6.1 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数， 即 |H(e j)|=1, 02 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e j)=e j() 全通滤波器起纯相位滤波的作用，可用于相位均衡。,全通滤波器的系统函数一般形式如下式：,或者写成二阶滤波器级联形式：,下面证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性。,式中，,由于系数ak是实数， 所以,图 7.6.1 全通滤波器一组零极点示意图,观察图7.6.1，如果将零点zk和极点p*k组成一对， 将零点z*k与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果z-1k为全通滤波器的零点，则z*k必然是全通滤波器的极点。 因此， 全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：,7.6.2 梳状滤波器 例如， , 0a1， 零点为 1， 极点为a, 所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到： 或,图 7.6.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8),梳状滤波器可滤除输入信号中的频率分量，可用于消除信号中的电网谐波干扰。例：设计一梳状滤波器，用于滤除心电图采集信号中的50Hz电源及其谐波干扰，心电图信号采样频率为200Hz.解：,7.6.3 最小相位系统 最小相位系统Hmin(z) ：因果稳定的系统H(z)的所有零点都在单位圆内。 最大相位系统Hmax(z) ：因果稳定的系统H(z)的所有零点都在单位圆外。混合相位系统：H(z)在单位圆内、外都有零点。,最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点。 (1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成， 即 H(z) = Hmin(z)Hap(z) 证明：假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z=1/z0，| z0 |1，则H(z)可表示为,该特点说明：将非最小相位系统位于单位圆外的零点zk用1/zk*代替，即得最小相位系统，且幅频响应特性相同。,(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。从时域说，最小相位系统的时域响应波形延迟和能量延迟均最小。,(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。 给定一个因果稳定系统H(z) = B(z) /A(z)， 定义其逆系统为,当且今当H(z)为最小相位系统时，其逆系统才是因果稳定的（物理可实现）。应用：逆滤波。,7.6.4 简单整系数滤波器 简单整系数滤波器 ：滤波器网络中的乘法支路增益均为整数。 特点：乘法实现的速度快，适合于对滤波性能要求不高，但对处理速度要求比较高，且要求设计方法简单易行的场合。,