新人教版第二十二章二次函数(全章课件ppt).pptx

第二十二章 二次函数,22.1 二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数,课前预习1.观察：y6x2；yx230 x； y200 x2400 x200这三个式子中，虽然 函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最 高次项的次数都是_次一般地，如果 y=ax2bxc（a、b、c是常数，a0），那么y 叫做x的_.2.函数y(m2)x2mx3（m为常数）. （1）当m 时，该函数为二次函数； （2）当m 时，该函数为一次函数.,二,二次函数,2,=2,3.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不 是？是二次函数，请指出各项对应项的系数. （1）y13x2 （2）y3x22x （3）yx (x5)2 （4）y3x32x2 （5）yx,答案：是，二次项系数为-3，一次项系数为0， 常数项为1； 是，二次项系数为3，一次项系数为2，常 数项为0； 是，二次项系数为1，一次项系数为-5， 常数项为2； 否； 否.,4.（2015闸北区一模）在下列y关于x的函数中， 一定是二次函数的是（） A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x,A,课堂精讲知识点1 二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,（1）任何一个二次函数的解析书都可以化成y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的形式，因此，把y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般形式.二次项系数a不能为0，而b，c可以为0，所以二次函数y=ax2+bx+c的特殊形式有： y=ax2（a0,b=0,c=0）； y=ax2+bx(a0,b0,c=0)； y=ax2+c(a0,b=0,c0).当a=0时，b0，函数就变为一次函数y=ax+c;若b=0,则y=c是一个常数. （2）一个函数是二次函数必须同时满足三个条件：函数解析式是整式；化简后自变量的最高次数是2 ；二次项系数不等于0.,（3）函数自变量的取值范围： y=ax2+bx+c（a0）中，x的取值范围是全体实数. 函数关系式是分式，自变量取值应使得分母不等于0. 函数关系式是偶次根式，自变量取值为被开方数为非负数. 实际问题的函数式，使实际问题有意义.（如大于0，取正整数或某两非负数之间取值）,【例1】下列函数中是二次函数的有（） y=x+ ；y=3（x-1）2+2； y=（x+3）2-2x2；y= +x A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,解析：本题考查了二次函数的定义判断函数是否 是二次函数，首先是要看它的右边是否为整 式，若是整式且仍能化简的要先将其化简， 然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓 住二次项系数不为0这个关键条件. y=x+ y= +x的右边不是整式，故错误；,y=3（x-1）2+2，符合二次函数的定义， 故正确；y=（x+3）2-2x2=-x2+6x+9， 符合二次函数的定义，故正确.答案：C,【例2】（2015嘉定区一模）如果函数y=(a-1)x2 是二次函数，那么a的取值范围是 ,解析：本题考查二次函数的定义，注意二次函数二 次项的系数不能为零 由y=（a-1）x2是二次函数，得 a-10解得a1 即a1或a1答案：a1或a1,变式拓展1.下列函数中，属于二次函数的是（） A. B.y=2(x+1)(x-3) C.y=3x-2 D.y= 2.若y=（m+1） 是二次函数，则m的值为 .,B,7,知识点2 实际问题中的二次函数 前面我们已经学习了用一次函数表示某些问题中变量之间的关系，除此之外，某些问题中的变量之间还存在着其他的一些数量关系，例如：,（1）正方形的边长为x，用y表示正方形的面积， 则y=x2；（2）从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度y与 小球运动时间x之间的解析式是y=-5x2+30 x. 对于以上所列举的解析式中的每一个变量x都有唯一的y值与它对应，所以y与x之间是一种函数关系，这种函数关系就是我们正要学习和研究的二次函数. 建立二次函数的模型的步骤如下：,【例3】（2015长宁区一模）某企业今年第一月新 产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研 发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三 月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式 为y= ,解析：由一月份新产品的研发资金为100元，根据 题意可以得到2月份研发资金为100（1+x）， 而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么 三月份的研发资金也可以用x表示出来，由 此即可确定函数关系式,一月份新产品的研发资金为100元，二月 份起，每月新产品的研发资金与上月相比 增长率都是x 2月份研发资金为100（1+x） 三月份的研发资金为 y=100（1+x）（1+x）=100（1+x）2答案：100（1+x）2,变式拓展：3.（2015奉贤区一模）一个矩形的周长为16，设 其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析 式是 ,8x-x2,随堂检测1.下列函数中，不是二次函数的是() A.y=1- x2 B.y=2(x-1)2+4 C. (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x22.若函数y=(m-3) 是二次函数，则m=_.3.如下图，在正方形ABCD中， E为BC边上的点，F为CD边 上的点，且AEAF，AB4， 设ECx，AEF的面积为y， 则y与x之间的函数关系式是 .,D,-5,y=- x24x,解：(1)x-2;(2)x2;(3)任意实数.,解：y= x(20-2x) =-2x2+20 x (0 x10),22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质,课前预习1.函数 的图像与 的符号有关的是（ ） A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴2.已知二次函数 的图像如图所示，则a满足 条件（ ） A.a0 Ba0 C.aO D.aO,B,A,3.已知二次函数 的图像是 ，开口方 向向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ， 当x0时，y随x 的增大而 ，当x= 时，函数有最 值， 最值是 .5.已知抛物线 （ ）经过点A（-2，-8）， 求抛物线的函数表达式.,抛物线,下,（0，0）,y轴,增大,减小,0,大,0,解：把点A（-2，-8）代入 解得 所以所求抛物线的函数表达式为,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2的图像和性质,注意：（1）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数， a0）中，b,c是任意常数，当b=c=0时，得 到二次函数y=ax2，它是最简单的二次函数； （2）由于二次函数y=ax2的图像是抛物线，故也称为抛物线y=ax2； （3）在画函数图像时，图像必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析； （4）抛物线是向两方向无限延伸的.左右两侧必须保持关于对称轴对称； （5）抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.,【例1】在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=-3x2的 图象，并比较两者的异同,解析：根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象， 进而得出图象的异同即可,解：如图所示：两图象 开口大小形状相同， 但是开口方向不同.,【例2】若二次函数 的图象经过点P( -3，2)， 则该图象必经过点（ ） A.(2，3) B.（-2，-3） C.(3，2) D.(-3，-2),解析：二次函数 的图象关于y轴对称，又知 (3，2)与（-3，2）关于y轴对称， 该图象必经过点(3，2).答案：C,点拨：确定二次函数的图象经过的点，一般思路是 将点的坐标代入函数解析式，若能使函数解 析式成立，则图象经过该点；若不成立，则 图象不经过该点，本题中，由于点的特殊性， 直接利用函数的对称性即可获得答案，故解 答问题时，要注意选择简单的方法.,【例3】已知 是抛物线y=-2x2 上的点，则（ ） A. B. C. D.,解析：因为抛物线y=-2x2的开口向下，对称轴是y 轴，在y轴的左边y随x的增大而增大，又因 为-4-2-1O，所以 ,点拨：比较函数值常用的方法有三种：(1)代入法：将自变量的值代入解析式，直接求出函数值进行比较；(2)图象法：画出二次函数的图象（简图），根据自变量在图象上际出点的位置，从而得出函数值的大小；(3)性质法：根据二次函数的图象与性质，由自变量的大小得出函数值的大小.,B,变式拓展1.当 时，函数 与 的图象可能是 （ ）,D,A,4.5,12,B,3.函数y=ax2与y=-2x-4直线交于点（2，b），则 （1）a= ，b= ； （2）抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为 ； （3）当x 时，函数y=ax2随x的增大而增大.4.若二次函数y=ax2的图像经过点(-1，2)，则二次 函数y=ax2的解析式是 5.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8） (1)求a的值； (2)若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B，试求 出AOB的面积；,-2,-8,（0,0）,x=0,0,y=2x2,解：(1)将A(-2，8)代人抛物线y=ax2，得(-2)2a=8， 则a=2,(2)由(1)结果可知，函数解析式为y=2x2，当y=8时， 2x2=8，解得x=士2，则B点坐标为(2，8).如下 图：,22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,B,D,3.抛物线 的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标是 ，它可以看做是由抛物线 向 平移 个单位得到的,向上,y轴,（0,-9）,下,9,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2+k的图像和性质 二次函数y=ax2+k（a0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的. 二次函数y=ax2+k（a0）与y=ax2（a0）的图像之间的关系如下表所示：,二次函数y=ax2+k的图像和性质总结如下:,【例1】二次函数 的图像向上平移2个单位， 得到新的图像的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D.,解析：由抛物线平移不改变n的值，根据平移口诀 “左加右减，上加下减”可知移动后的顶点 坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达 式原抛物线的顶点为(O，O)，向上平移2 个单位，那么新抛物线的顶点为(O，2)可 设新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k，代入 得y=x2+2.答案：C,【例2】对于二次函数 ，下列说法错误的 是（ ） A.最小值为2 B.图像与y轴没有公共点 C.当x0时，y随x的增大而减小 D.其图像的对称轴是y轴,解析：利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答 案. A.开口向上，有最小值2，正确；B.图 像与y轴交于点 (0，2)，错误；对称轴为y 轴，开口向上，所以当x0时， y随着x的增 大而减小；C，D正确，故选B答案：B,变式拓展1.将抛物线 向上平移4个单位后，以所得到 抛物线为图像的二次函数解析式是 .,随堂检测1.函数 与 在同一坐标系内的 图像是图中的（ ）,B,2.坐标平面上有一函数 的图形，其顶点 坐标为（ ） A.（0,2） B.（1,24） C.（0,-48） D.（24，-48）3.若抛物线 的形状与 的相同，开口 方向相反，且其顶点坐标是(O，-3)，则该抛物 线的函数表达式是 .4.已知二次函数 的图 像如图所示，它和x轴正半轴 的交点为A(O.8，0)，则它和 x轴负半轴的交点B的坐标为 .,D,y=-2x2-3,(-0.8，0),5.已知抛物线y=-x2+4交x轴于A，B两点，顶点是C， 求ABC的面积.,解：由题可知A（-2，O），B(2，0)，C(O，4) ABC的面积是8,22.1.4 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质,课前预习1.抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是（ ） A.(2,O) B.(-2,O) C.(O,2) D.(0，-2)2.将抛物线y=3x2向右平移2个单位，所得抛物线是 （ ） A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x2-2 D.y=3x2+23.抛物线y=2(x-3)2的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.x轴上 D.y轴上,A,B,C,4.抛物线y=2(x+3)2的开口 对称轴是 ； 顶点坐标为 ；当x-3时，y随x的增大而 ；当x=-3时，y有 值，是 .,向上,x=-3,(-3,0),增大,最小,0,课堂精讲知识点 二次函数y=a(x-h)2(a ,h是常数，a0)的图 像和性质 二次函数y=a(x-h)2（a0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是(h，O)，它与y=ax2(aO)的图象形状相同，位置不同，函数y=a(x-h)2(aO)的图象是由抛物线y=ax2向右（或左）平移|h|个单位长度得到的 画二次函数y=a(x-h) 2 (aO)的图象时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图,二次函数y=a(x-h)2的图像和性质，总结如下：,【例1】将抛物线 经过适当的平移，得到抛物线 和 ，那么应该怎样平移？,解析：找到三个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点 即可判断是如何平移得到的.,解： 的顶点坐标为（-5，O），抛物线 的顶点坐标为(5，O)， 的顶 点坐标为(O，O)， 将抛物线 向左平移5个单位，可得到 抛物线 ，将抛物线 向右平移5 个单位，可得到抛物线,【例2】二次函数 的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是（ ） A.向上，直线x=4，(4，0) B.向上，直线x=-4，（-4，O） C.向上，直线x=4，(0，4) D.向下，直线x=-4，（O，-4）,解析：根据二次函数的性质解题此式为二次函数 的顶点式，因为a0，所以开口向上；对称 轴为x=4；顶点坐标可直接写出，为 (4，O)故选A答案：A,变式拓展1.对于y=2(x-3)2的图像，下列叙述错误的是（ ） A.顶点坐标为（-3，0） B.对称轴为直线x=3 C.当x3时，y随x的增大而增大 D.当x=3时，y有最小值02.抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后，得到的函 数关系式是y=-4(x-4)2，则m= ，n= .,A,-4,-6,随堂检测1.把抛物线y=6(x+l)2平移后得到抛物线y=6x2，平 移的方法可以是（ ） A沿y轴向上平移1个单位 B沿y轴向下平移1个单位 C沿x轴向左平移1个单位 D沿x轴向右平移1个单位2.关于抛物线： ； ； ，下列结论正确的是（ ） A.顶点相同 B.对称轴相同 C.形状相同 D.都有最高点,D,C,A,y=-(x+1)2,5.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A，与y轴的负 半轴交于点B，且OB=OA (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(-3，6)在该抛物线上，求SABC的值,解：(1)由题得，A(-1，0), B(O，-1)，将x=0，y=-1 代入抛物线解析式 得a=-1，则抛物线解析式为 y=-(x+1)2=-x2-2x-1,(2)过C作CD x轴，将C(-3，6)代入抛物线解析式， 得b=-4,即C(-3，-4)，则 = 3（4+1）- 42- 11=3.,22.1.5 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,课前预习1.将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度， 再向上平移3个单位长度，所得图像解析式（ ） A.y=(x-1)2+3 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x+1)2-3 2.二次函数 的图像的开口方向、对称 轴、顶点坐标分别是（ ） A.向上，直线x=3，(3，4) B.向上，直线x=-3，（-3，4） C.向上，直线x=3，（3，-4） D.向下，直线x=3，(3，4),A,A,3.把抛物线 向 平移 个单位，再向 . 平移 个单位，就得到抛物线 4.抛物线 的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴是 ，当x-2时，y随x的增大 而减小；当x= 时，y有最 值，这个值是 .,左,1,下,1,上,（-2，-6）,x=-2,-2,小,-6,课堂精讲知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a0)的图像和性质 二次函y=a(x-h)2+k(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的,二次函数y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数，a0)的性质与a,h,k的关系密切，现总结如下：,【例1】已知二次，函数 的图像如图 所示，则一次函数 的大致图像可 能是（ ）,解析：首先根据二次函数图像得出a，c的符号，进而利用一次函数性质得出图像经过的象限解：根据二次函数开口向上，则a0，根据-c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数y=ax+c的大致图像经过一、二、三象限，故选A,A,【例2】对于抛物线 ，下列结论： 抛物线的开口向下； 对称轴为直线x=1； 顶点坐标为（-1，3）； x1时，y随x的增大而减小， 其中正确结论的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,解析：根据二次函数的性质对备小题分析判断即可 得解.,解： 抛物线的开口向下，正确； 对称轴为直线x=-1，故错误； 顶点坐标为（-1，3），正确； 时，y随x的增大而减小， 时， y随x的增大而减小一定正确 综上所述，结论正确的个数是3个故选C.答案：C,变式拓展1.已知函数y=2(x+1)2-8. （1）写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐 标. （2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐 标. （3）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？ 当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ （4）当x取何值时，函数有最大值或最小值，并 求出最大值或最小值.,解：（1）开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐 标是（1，-8）. （2）与x轴的交点坐标是（1，0）、（-3，0）； 与y轴的交点坐标是（0，-6） （3）当x-1时，y的值随x值的增大而增大； 当x-1时，y的值随x值的增大而减小. （4）当x=-1时，函数有最小值，最小值是-8.,2.已知点 是抛物线 上的三个点，试比较 的大 小： .,随堂检测1.关于二次函数y=-4(x+1)2+3的说法正确的有（ ） 顶点的坐标为(1，3)；对称轴为x=-1； x-l时知随x的增大而增大； 函数图像与y轴的交点坐标为(O，3) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在平面直角坐标系上将二次函数y=-2(x-1)2-2的 图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则 其顶点为（ ） A.(O,O) B.(1,-2) C.(O,-1) D.(-2,1)3.已知二次函数y=2(x+1)2+1(-2x1)，则函数y 的最小值是 ，最大值是 ,B,C,1,9,4.二次函数y=-3(x-1)2+2关于y轴翻折得到的二次 函数表达式为 .5.已知二次函数图像的顶点是P（1，-1），且经过 点A(2，0). (1)求这个二次函数的解析式； (2)点Q为第一象限的抛物线上一点，且OQPO， 求SPOQ的值,y=-3(x+1)2+2,解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2-1，将 A(2,O)代人，得a=1， 则抛物线解析式为y=x2-2x.,(2)设直线OP的解析式为y=kx，将P坐标代人， 得k=-1，则直线OP解析式为y=-x. OQPO， 直线OQ的解析式为y=x， 代入抛物线解析式，得x2-2x=x 解得x=0（舍去）或x=3 Q(3,3) OQ= ，OP= 则SPOQ= OQOP=3,22.1.6 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质,课前预习1.函数y=x2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2，1）2.二次函数 的图象如右图，则点（ ，） 在第_象限.,A,四,D,C,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a0)的图像和性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的图 像的画法： （1）描点法，步骤如下： 利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h) 2+k的形式. 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点 画图.,（2）平移法，步骤如下： 利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h) 2+k的形式，确定其顶点（h，k）. 作出函数y=ax2的图像 将函数y=ax2的图像平移，使其顶点平移到 (h,k）. 一般地，由配方可得 ，过程如下：,顶点坐标为 ，对称轴为,2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的性 质列表如下：,【例1】对于抛物线y=-4x+x2-7,有下列说法： （1）抛物线的开口向上； （2）对称轴为x=2； （3）顶点坐标为（2，-3）； （4）点（- ，-9）在抛物线上. 其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,解析：抛物线y=-4x+x2-7=（x-2）2-11，由a=1,可 得开口向上，故（1）错误；由h=2,可得对 称轴为x=2,故（2）正确；由h=2,k=-11,可 得顶点坐标为（2，-11），故（3）错误； 把x=- 代入 y=（x-2）2-11可得y=- ，故 （- ，-9）不在抛物线上，故（4）错误.所 以正确的有2个.答案：C,变式拓展1.二次函数y=x2-2x-3的图象与y轴交点坐标是 ，与x轴交点坐标是 .,（0，-3）,（-1，0）和（3，0）,知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a0)的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号 之间的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号之间的关系如下表所示,注意：二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) 的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号之间的关 系是互逆的，即由字母的符号能确定图像的 特征，反之，由图像特征也能确定字母的符 号.,解析：根据二次函数的性质， 对a、b、c的值进行判 断.利用二次函数图象 与x轴的交点个数，对 判别式b2-4ac进行判断，利用对称轴公式对 2a+b进行判断，将特殊值代入解析式，对 a+b+c进行判断.,【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则 abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中， 值为正数的有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,（1）abc0，理由是，抛物线开口向上，a0， 抛物线交y轴负半轴，c0，又对称轴交x轴 的正半轴， 0，而a0，得b0，因此 abc0；（2）b2-4ac0，理由是，抛物线与x轴有两个交 点，b2-4ac0；（3）2a+b0，理由是，0 1，a0， -b2a，因此2a+b0；（4）a+b+c0，理由是，由图象可知，当x=1时， y0；而当x=1时，y=a+b+c即a+b+c0. 综上所述，abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有3个答案：B,变式拓展2.（2015岳池县模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，则下列结论： a，b同号；当x=1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取2； 当-1x5时，y0其中正确的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,C,知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式 我们知道用待定系数法求一次函数y=kx+b（k0）的解析式，就是根据已知条件建立k,b的二元一次方程组，求出k,b的值，再回代到y=kx+b即可.用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的解析式，就是由已知条件建立含a,b,c的三元方程组，求出待定字母a,b,c，再回代到y=ax2+bx+c中即可. 由于二次函数有多种表达式，所以我们在求二次函数解析式时，首先要根据已知条件的特点，灵活选择合适的表达形式，然后用“待定系数法”求解，可以达到简便、快捷的效果.,利用待定系数法求解二次函数解析式时，一般有以下几种情况（a0）：（1）顶点在原点，可设为y=ax2；（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为 y=ax2+c;（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx；（5）已知顶点（h,k）时，可设顶点式为 y=a(x-h)2+k；（6）已知抛物线上三点坐标时，可设一般式为 y=ax2+bx+c;（7）已知抛物线一般x轴两交点坐标为（x1,0）， （x2,0）时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).,【例3】（2015宝山区一模）已知一个二次函数的 图象经过点A（1，0）和点B（0，6）， C（4，6），求这个抛物线的表达式以及 该抛物线的顶点坐标,解析：把点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6） 代入y=ax2+bx+c，即可求出二次函数的解析 式及它的图象的顶点坐标,解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，把点 A（1，0）和点B（0，6），C（4，6）代入 得 ，解得 .所以抛物线的表 达式为y=2x2-8x+6，顶点的坐标为（2，-2）.,变式拓展3.（2015虹口区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： （1）求该二次函数的解析式； （2）用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和 对称轴,解：（1）把点（0，-1）代入y=ax2+bx+c， 得c=-1 再把点（-1，2），（1，-6）分别代入 y=ax2+bx-1中， 得 ，解得 （2）y=-x2-4x-1=-（x+2）2+3 该二次函数图象的顶点坐标为（-2，3）， 对称轴为x=-2,随堂检测1.把二次函数y=- x2-x3用配方法化成 y=a(x-h)2k的形式（ ） A.y=- (x-2)22 B.y= (x-2)24 C.y=- (x2)24 D.y=( x- )232.对抛物线y=-x22x-3而言，下列结论正确的是 （ ） A.与x轴有两个交点 B.开口向上 C.与y轴的交点坐标是(0,3) D.顶点坐标是(1，-2),C,D,3.（2015大庆模拟）二次函数y=ax2+bx+c的对称 轴为x=1，与x轴的一个交点A在（2，0）和 （3，0）之间，其部分图象如图，则下列结论正 确的是（） A.b0 B.ac0 C.3a+c0 D.3a+c0 第3题 第4题4.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线 x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对 应的函数解析式是 ,D,y=-x2+2x+3,5.已知开口向上的抛物线y=ax2-2x|a|-4经过点 (0，-3) (1)确定此抛物线的解析式； (2)当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小 值,解：(1)由抛物线过(0，-3)，得-3=|a|-4， |a|=1，即a=1. 抛物线开口向上，a=1. 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4， 当x=1时，y有最小值-4.,22.2 二次函数与一元二次方程22.2.1 二次函数与一元二次方程（1）,1.二次函数y=x2-3x2，当x=1时，y=_； 当y=0时，x=_2.若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，则m的取 值范围是（ ） A.m-1 B.m1 C.m-1 D.m13.二次函数y=ax2bxc如 下图所示，则一元二次方 程ax2bxc=0的解为 .,0,1或2,B,x1=-1,x2=4,课堂精讲知识点 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数y=ax2bxc（a0），当y=0时，得到一元二次方程ax2bxc=0（a0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2bxc（a0）的图像与x 轴有两个交点时，b2-4ac0,方程 ax2bxc=0（a0）有两个不相等的实数 根；,（2）当二次函数y=ax2bxc（a0）的图像与x 轴有且仅有一个交点时，b2-4ac=0,方程 ax2bxc=0（a0）有两个相等的实数根；（3）当二次函数y=ax2bxc（a0）的图像与x 轴无交点时，b2-4ac0,方程ax2bxc=0 （a0）无实数根. 综上，求一元二次方程ax2bxc=0（a0）的根也就是求二次函数y=ax2bxc（a0）的值为0时自变量x的值，即抛物线y=ax2bxc（a0）与x轴的交点的横坐标.二次函数y=ax2bxc（a0）的图像与x轴的交点分三种情况分别对应着一元二次方程ax2bxc=0（a0）的根的三种情况，如下表所示：,【例1】抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点为（） A.二个交点 B.一个交点 C.无交点 D.三个交点,解析：解答此题要明确抛物线y=x2-2x+1的图象与x 轴交点的个数与方程x2-2x+1=0解的个数有 关，还得考虑与y轴相交因为x2-2x+1=0中， =（-2）2-411=0，有两个相等的实数 根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的 点即可当x=0时y=1，当y=0时，x=1 抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点有两个答案：A,【例2】（2014大庆）关于x的函数 y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只 有一个公共点，求m的值,解析：本题考查了抛物线与x轴的交点注意一定 要分类讨论，以防漏解,解：需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数 两种情况 当m2-1=0，且2m+20，即m=1时，该函数是 一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点； 当m2-10，即m1时，该函数是二次函 数，则=（2m+2）2-8（m2-1）=0， 解得 m=3，m=-1（舍去） 综上所述，m的值是1或3,变式拓展1.（2014滕州市校级模拟）已知a，b，c满足 a+c=b，4a+c=2b，则关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点坐标为 . .2.已知P（-3，m）和Q（1，m）是抛物线 y=2x2+bx+1上的两点 （1）求b的值； （2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否 有实数根，若有，求出它的实数根；若没有， 请说明理由.,解：（1）点P、Q在抛物线上且纵坐标相同 P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对 称轴距离相等 抛物线对称轴 b=4 （2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为 2x2+4x+1=0 =b2-4ac=16-8=80， 方程有实根， ,如果二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点在x轴上方，那么（ ） A.b2-4ac0 B.b2-4ac0 D.b2-4ac=02.（2015岳池县模拟）如果关于x的二次函数 y=x2-2x+k与x轴只有1个交点，则k= 3.二次函数y=x2-3x-4的图象与y轴交点坐标是 ，与x轴交点坐标是 .4.（2014阜新）如图，二次函 数y=ax2+bx+3的图象经过点 A（-1，0），B（3，0）， 那么一元二次方程ax2+bx=0 的根是 ,B,1,（0，-4）,（-1，0）和（4，0）,x1=0，x2=2,5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列 说法： ab0；方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； a+b+c0；当x1时，y随x值的增大而增大； 当y0时，-1x3 其中，正确的说法有 （请写 出所有正确说法的序号）.,22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）,课前预习1.已知二次函数y=x2+2x-10，小明利用计算器列出 了下表： 那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是（）A.-4.1 B.-4.2 C.-4.3 D.-4.4,C,2.抛物线y=ax2+bx+c（a0）如图，则关于x的不 等式ax2+bx+c0的解集是（） A.x-1 B.x2 C.-1x2 D.x-1或x2 第2题 第3题3.（2015义马市模拟）二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图，则函数值y0时，x的取值 范围是 ,C,x-1或x3,课堂精讲知识点1 图像法求解一元二次方程 用图像法求解一元二次方程或方程组是数形结合思想的具体应用.可类比用一次函数的图像解一元一次方程和二元一次方程组的方法，也在坐标系中画出函数图像求方程的解. 方法一：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2bxc=0（a0）的解，具体过程如下：(1)在平面直角坐标系中画出二次函数 y=ax2bxc（a0）的图像；(2)观察图像，确定抛物线与x轴的交点坐标；,(3)交点的横坐标即为一元二次方程ax2bxc=0 （a0）的解. 方法二：利用抛物线与直线交点的方法求一元二次方程ax2bxc=0（a0）的解，具体过程如下： （1）在平面直角坐标系中画出函数y=ax2(a0) 与y=-bx-c（b0）的图像； （2）观察图像，确定抛物线与直线的交点坐标； （3）交点的横坐标即为一元二次方程 ax2bxc=0（a0）的解.,【例1】利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图 象，求一元二次方程2x2=x+2的近似根,解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x2与y=x+2的图象，它们交点的横坐标的 值即为一元二次方程2x2=x+2的解,解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x2与y=x+2的图象，如图所示：,由图形可知，二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的交点坐标是（-0.78，1.22），（1.28，3.28），所以一元二次方程2x2=x+2的近似根为x1-0.78，x21.28,变式拓展1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a0） 的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似 解可以是（）A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55,C,知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线y=ax2bxc（a0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc 0（a0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0（a0）及ax2bxc0（a0）之间的关系如下：,解析：根据已知条件和图 象找出直线y=x+m和 抛物线y=x2+bx+c的交 点，即可求出不等式 x2+bx+cx+m的解集 直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点 A（1，0）和B（3，2）， 根据图象可知，不等式x2+bx+cx+m的解 集为x1或x3；,【例2】（2015大连模拟）如图，直线y=x+m和抛 物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和 B（3，2），不等式x2+bx+cx+m 的解集 为 ,x1或x3,变式拓展2.（2014黄石）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的 图象如图所示，则函数值y0时，x的取值范围 是（）A.x-1 B.x3 C.-1x3 D.x-1或x3,D,随堂检测1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象 可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A.-1x5 B.x5 C.x-1且x5 D.x-1或x52.（2015吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c 的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确 的是（） A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间,A,D,3.画出抛物线y=x2-3x-4的图象. （1）指出方程x2-3x-4=0的解是什么？（2）不等式x2-3x-40的解集是什么？ （3）不等式x2-3x-40的解集是什么？,答：（1）方程x2-3x-4=0的解是x=-1或x=4； （2）x4； （3）-1x4.,4.阅读材料，解答问题. 利用图像法解一元二次不等式x2-2x-30. 解：设y= x2-2x-3，则y是x的二次函数， a=10,抛物线开口向上 又当y=0时x2