概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件.ppt

第五节,随机变量函数的分布,第五节,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的联合分布?,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散卷积公式,r=0,1,2, ,一、离散型分布的情形例1 若X、Y独立，P(X=k)=,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,解：依题意 例2 若X和Y相互,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r =0,1，,由卷积公式即Z服从参数为 的泊松分布.,例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为,于是,例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一于是,概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线x+y =z 左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例5 若X和Y,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示:也即于是,由公式,解,例6 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,由公式解例6 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标,得,得,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 结论又,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,从前面例4可以看出， 在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.,从前面例4可以看出， 在求随机向量(X,Y)的,休息片刻再继续,休息片刻再继续,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函,类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i =0,1，, n),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它,用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n,用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,留作课下练习.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有,例7,例7,解,解,概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件,概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件,概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件,概率论与数理统计浙大四版第三章3讲精选课件,下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例8 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=0,1,2,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),n=0,1,2,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)=P(m,那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？,留作课下思考,那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的,这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：,请通过练习熟练掌握.,1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布,这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理,哥尼斯堡七桥问题,18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题。,哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的,这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。,这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提,于是“七桥问题”就等价于上图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。上图的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。,于是“七桥问题”就等价于上图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注,练习：随机变量X与Y的联合概率密度为,分别求,的概率密度.,练习：随机变量X与Y的联合概率密度为 分别求 的概率密度.,