平面向量数量积的物理背景及其含义ppt课件.ppt
第十课时平面向量的数量积的物理背景及其含义,向量的夹角,复习回顾,一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,那么力F所做的功W为：,情景引入,W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？,两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,平面向量的数量积的定义,说明：,问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？,实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量,问题4：影响数量积大小的因素有哪些？,这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。,正,负,0,数量积符号由cos的符号所决定,平面向量的数量积的运算性质,问题5：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？,ab ab0,问题6：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？,当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a .,问题7：ab与ab的大小关系如何？为什么？,abab,问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角？,（）a b | a | | b |.,（）ab a b=0 .,(判断两向量垂直的又一依据),特别地，,（）当a与b同向时，ab | a | | b |；,当a与b反向时，ab | a | | b |.,（）,平面向量的数量积的运算性质,设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：,(求模的方法),(求角的方法),(证明共线的方法),练习:,变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 ，AB=2,求下列各数量积.,解：,例2 .已知 =(1,1), =(2,0),求 。,练习2: 在ABC中a=5,b=8,C=60o, 求,思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,例3:如图所示，已知O，AB为直径,C为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。,解：设 则 ，由此可得：,即 ，ACB=90,物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功,？,数量积的几何意义,平面向量数量积的几何意义,投影一定是正数吗？,，过点B作,则 的数量是| b | cos,（不是向量）,数量积的几何意义,练一练：,类比实数的乘法运算律：,数量积的运算律：,关于向量的数量积运算：,平面向量的数量积运算律,数量积运算不满足乘法结合律。,交换律：,分配律：,问题: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？,如图可知：,则： (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3)-分配律,回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:,在实数中 在向量运算中交换律: ab=ba ( )结合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( )分配律： (a+b)c=ab+bc ( )消去律: ab=bc(b0) a=c ( ),数量积的运算律,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,（2）(ab)(ab) (ab)a(ab)b aabaabbba2b2.,向量的数量积运算类似于多项式运算,解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb） （a-kb）=0即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，k=,利用平面向量数量积求解夹角问题,利用平面向量数量积求解长度问题,变式：,练习4:辨析,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0.,4若a b=0，则a,b中至少有一个为0,. 对任意向量 a 有.(a a 常记作a2),7若 ，则 中至少有一个为 ,(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心,【高考真题链接】,夹角的范围,运算律,性 质,数量积,本课时小结:,(2),(交换律),(分配律),1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.,2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.,3. 常用a 求向量的模.常用求向量的夹角.,课后作业: P108 18 (习题).,预习向量的数量积的坐标表示,
