平面及其方程ppt课件.ppt

6.4 平面及其方程,6.4.1 平面方程,6.4.2 两平面间的夹角,6.4.3 点到平面的距离,一个平面的法向量有无穷多个, 它们之间都是相互平行的,6.4.1 平面方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,设平面 的一个法向量,且平面过点M0(x0, y0, z0).,下面建立平面有 的方程,1 平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)的坐标不满足该方程,设M (x, y, z)是平面 上的任一点,(6.15),例1 设一平面过点M0(1, 0, 2)平面的法向量为,求此平面方程.,解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为,即,2 平面的一般方程,由平面的点法式方程,反之，三元一次方程,表示一平面。,这是因为：,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,为平面的一般方程.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,此方程称,因此方程的,图形是法向量为,平面方程的几种特殊情况：,(1) D = 0, 平面通过坐标原点；,(2) A = 0, 平面平行于x 轴；,(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂直于z 轴；,(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.,解,所求平面方程为,化简得,例2,求过三点,的平面方程.,取,-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0,2x+ 3y- 3z- 3=0.,例3,一平面过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),且平行于y 轴,求其方程.,解,由于所求平面与y 轴平行,故其方程的形式,设为Ax+Cz+D=0,因为点M1 和M2 都在上,其坐标,应当满足的方程,将这两个点的坐标代入到这个方,方程中,得到,A+C+D=0,3A-2C+D=0,解这个方程组,得,将这个结果代入到平面方程中,得,3x+2z- 5 = 0.,3 平面的截距式方程,设平面为,将三点坐标代入得,将,代入所设方程得,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,6.4.2 两平面间的夹角,设,由两向量夹角余弦公式有,特殊的：,/,例4,解 由两平面夹角的余弦公式得,求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.,6.4.3 点到平面的距离,设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求P0到平面的距离.,在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则,于是得到点到平面距离公式,由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故,Ax1+By1+Cz1+D = 0,A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0),= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0,= A x0 By0 Cz0 D,例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离.,解,由点到平面的距离公式得,= 3,练习1,练习2 求通过,x轴和点,的平面方程.,练习3,练习4,练习5,求平行于平面,而与三个坐,标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,练习1,练习2 求通过,轴和点,的平面方程.,解 由于平面通过,轴，从而它的法线向量垂直,于是法线向量在,轴上的投影为零，,又由平面通过,轴，它必须通过原点，,因此可设这平面的方程为,代入所设方程并除以,得所求方程为,由平面过点(6, 3, 2)知,练习3,设平面为,由平面过原点知 D =0,所求平面方程为,解,于是,练习4,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,代入体积,于是,练习5,解,设所求平面得一个法线向量为,又因所求的平面垂直于已知平面,所以有,由平面的点法式方程,可知，所求平面方程为,得,所以，所求的平面方程为：,