复变函数第1讲ppt课件.ppt

复变函数与积分变换,（复变函数积分变换）,主讲 张高民,序言,复变函数研究的对象： 自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）。,复数的引入及其发展过程： 在16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想 。例如，解简单的方程 x2+1=0 时就会1开平方的问题。 为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。,然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解的不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产生的悖论：,这样取X =1，得,矛盾！,因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数。直到十七、十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：,关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家Euler （欧拉）作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号 “ ”,作为虚数单位，也是他首创的。,1 微积分的发展； 2 复数与平面向量联系起来解决实际问题。,复变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家 Rieman 和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支，例如，著名的代数学基本定理：,（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。,用复变函数理论来证明是非常简洁的。,一元n次方程,现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。,1. 复数的概念,1 复数及其代数运算,第一章 复数与复变函数,其中 为虚数单位，满足,注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。,记号：,称复数,记为,为复数,的共轭复数,2. 复数的代数运算,记：,则定义运算如下:,加、减：,乘 法：,注:,除 法：,运算：,容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：,1）,2）,3）,例1,2 复数的几种常见表示法,1.复平面,直角坐标平面中的点,将平面直角坐标系引入到复数中来, 此时x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。,1） 复数的点表示 (见图1),复数,点 z,以后复数和点将不加区分,图1,图2,2) 复数的向量表示 (见图2),p,显然有,注:,1. 任意非零复数有无穷多个辐角,2. 当z0时, |z|=0, 辐角规定为任意值.,把满足 的幅角称为幅角主值. 记为arg z，这样，我们有：,辐角的主值：,复数的向量表示的重要意义： 能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边形、三角形法则，立即得到下面不等式：,还容易看出,3) 复数的三角表示,根据,可以得到,上式称为复数的三角表示。,4) 复数的指数表示,利用欧拉公式：,可以得到复数的指数表示式,注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用,2. 复球面,z,x,y,S . o,N,用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点（除外）之间的一种一一对应的关系，即,这样我们就可以用球面上的点来表示复数。,问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？,我们规定：）复平面上有唯一的“无穷远点”与球面上北极对应；）复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为。,这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面,我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面,对于复数来说,实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模规定为 ，对于其它复数 z ,则有 z + ,注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面,关于的运算，规定如下：,仍然不确定。,例3：下列方程各表示什么曲线？,4） 写出直线的复数形式方程,1）,2）,解：1)，2)的关键是知道,的几何意义是表示,所以，1）表示圆周，2）表示直线。,点 到 的距离。,3）,注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.,3）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一直线,4）关键：由,得,，代入直线方程,，得,因而可记为,，其中 为实数。,