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基本塑性性质,1 基本实验资料 2 材料应力-应变关系的简化模型3 三杆桁架的弹塑性平衡分析4 加载路径对塑性变形和极限载荷的影 响,1基本实验资料,1. 单向拉伸试验2.静水压力试验 3.鲍辛格效应 4.材料性质的基本假设,1.单向拉伸试验,通过材料力学试验，我们已经得到了具有代表性的低碳钢拉伸时的应力-应变曲线，如图7-1所示。它反映了常温、静载下，材料应力-应变关系的全貌，显示了材料固有的力学性能 。下面介绍单向拉伸的几个塑性概念：,（1）屈服极限,应力-应变曲线上A点对应的应力值称为材料的弹性极限。若应力小于弹性极限，则加载和卸载的应力-应变曲线相同（OA）段；若应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有明显的转折，并出现一个水平线段（AF），常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。在AF段应力不变的情况下可以继续变形，通常称为塑性流动。,（2）加载和卸载规律,材料中的应力达到屈服极限时，即进塑性阶段。此阶段的最大特点：加载和卸载的应力应变曲线不同。例如由图中B点卸载，应力与应变不是沿BAO线而是沿BD线退回。应力全部消失后，仍保留永久应变OD。在变形不大时，多数材料应力应变曲线中的BD与OA接近平行。以p表示塑性应变OD，以e表示弹性应变DC，则B点的应变为=e+p如果从D点重新加载，开始时仍按DB变化，回到B点后则按BFH变化。,（3）后继屈服,若在B卸载至D，则再加载时，B点的应力成为新的屈服极限，它高于初始屈服极限s。这一现象称为后继屈服。和初始屈服点不同，后继屈服点在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而是取决于塑性变形过程即塑性变形的大小和历史。,（4）条件屈服极限的确定,一般金属材料根据其塑性变形性能的不同可分为两类：一类金属材料如低碳钢、铸钢、某些合金钢等，应力-应变曲线如图7-1所示。它们的屈服阶段较长，有的材料在该阶段的应变量为1%。另一类金属材料则没有明显的屈服阶段，如中碳钢、某些高强度合金钢以及某些有色金属等，它们的应力-应变曲线如图7-2所示。对于这种屈服极限不明显的材料，工程上将对应于残余应变为0.2%的应力值定义为条件屈服极限0.2 ，也称为名义屈服极限；或者将拉伸曲线中割线模量为0.7E处的应力定义为条件屈服极限。后一种定义方法比测定残余应变更简单，对于一般钢材前后两种方法确定的名义屈服极限近似相等。,（5）塑性变形阶段的特性,在塑性变形阶段，由于加载和卸载的规律不同，卸载后就必然存在残余变形。弹性和塑性的本质差别在于卸载后是否存在不可恢复的永久变形。于加载和卸载规律的不同，引起塑性阶段应力与应变的多值关系。在弹性阶段，已知应力就可唯一地确定相应的应变；而在塑性阶段就不存在这种一一对应的关系。由图7-1可见，对应于应力1的应变，可以是1和1也可以是1，它与加载历史过程有关。但在某一瞬时，应力增量和应变增量之间的关系则是确定的。因为塑性变形不可恢复，所以外力所作的塑性功不可逆。设材料从某一应力o对应的do点开始加载，按线性规律达到d点，如图7-3所示。这时如给出应力增量d，它将引起一个新的塑性应变增量dp，在此变形过程中应变能有了增量。若从f点卸载，应力又降为o。,这时弹性应变消失，弹性应变能得到释放，而塑性应变被残留下来，相应的塑性应变能（图中阴影部分）被消耗了。这种不能重行释放的塑性应变能也称作耗散能，与此相应的功称塑性功，它被耗散而不可逆。 。,2. 静水压力试验,在各向均匀高压的条件下，对金属材料进行了大量试验研究，主要结论为（1）静水压力对材料屈服极限的影响在静水压力不大的条件下（例如五倍屈服应力），它对多数致密金属材料屈服极限的影响可以忽略。但对于像铸造金属、矿物、岩石及土壤等材料，静水压力影响比较大，不能忽略。（2）关于体积变化试验表明：弹簧钢在10000个大气压下体积缩小约2.2%，而且这种体积变化时可以恢复的。对于一般金属材料，可以认为变化基本上是弹性的，除去静水压力后体积变形可以全部恢复，没有残余体积变形。因此可以忽略弹性的体积 变化，而认为材料在塑性状态时的体积是不可压缩的，即体积不变仅改变形状。另外，变形速度、应力作用时间的长短以及温度等因素对应力-应变曲线都有影响，但对金属材料在通常的变形速度及室温条件下影响不大，可以不予考虑。,3. 包辛格效应,（1）拉伸与压缩试验结果的比较对于一般金属材料，在小变形阶段，拉伸 与压缩的试验曲线基本重合，一般在应变量不超过1%时可以认为两者一致。但在大变形阶段则有显著差别。由于一般压缩曲线略高于拉伸曲线，因此对于同种金属材料，在变形不大的情况下，用拉伸试验代替压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。但是，对于拉伸与压缩曲线有明显差别的材料如铸铁、混凝土等，则需另作专门研究。（2）包辛格效应如图7-4所示，具有强化性质的材料受拉伸且拉应力超过屈服极限（图中A点）后，材料进入强化阶限（AD段）。若在B点卸载，再受拉伸时，拉伸屈服极限由没有塑形变形时的A点的值提高到B点的值。若在卸载后反向加载，则压缩屈服极限的绝对值由没有塑形变形时的A点的值降低到B点的值。图中OACC线是对应更大塑性变形的加载卸载反向加载路径，其中与C和C点对应的值分别为新的拉伸屈服极限和压缩屈服极限 。这一现象为包辛格（Bauschinger）所发现，称为包辛格效应。它使具有强化性质的材料由于塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，,同时在反方向上降低，材料具有了各向异性性质。在求解问题时，为了简化常忽略这一效应，但有反方向塑性变形的问题须考虑包辛格效应。,4. 材料性质的基本假设,（1）材料是均匀、连续的，在初始屈服前为各向同性。（2）各向均匀应力状态不影响材料的塑性变形而只产生弹性的体积变化。（3）材料的弹性性质不受塑性变形的影响。（4）不考虑时间因素对材料性质的影响。,2 材料应力应变关系的简化,1. 常用应力-应变关系简化模型2. 其他应力-应变关系简化模型,1. 应力应变关系简化模型,（1）理想弹塑性模型 （2）理想刚塑性模型 （3）线性强化弹塑性模型（4）线性强化刚塑性模型,（1）理想弹塑性模型,在材料中应力达到屈服极限以前，应力应变服从线弹性关系。应力一旦达到屈服极限，则应力保持为常数s。右图（a）所示，即,当材料曲线有一较长的水平屈服阶段，即材料的强化效应不明显时，可采用理想弹塑性模型。,（2）理想刚塑性模型,当弹性变形比塑性变形小的多时，略去理想弹塑性模型的线弹性部分，在应力达到屈服极限s前材料为刚性的，而应力达到s后材料为理想塑性的。如右涂（b）所示，即,在进行结构塑性极限分析时，则采用理想刚塑性模型。,（3）线性强化弹塑性模型,对于一般合金钢、铝合金等强化材料，可以用两段折线近似实际的拉伸曲线。如右图（c）所示。应力达到屈服极限s前，应力应变呈线弹性关系，应力超过s则为线性强化关系，即,式中E1为强化阶段直线斜率，当E1=0时即为理想弹塑性模型。,（4）线性强化刚塑性模型,略去线性强化弹塑性模型中的线弹性部分，即在应力达到s前材料为刚性的，应力超过s后应力应变关系呈线性强化。如右图（d）所示，即,注：以上仅就拉伸应力状态进行了讨论，其关系同样适用于压缩应力状态。,2. 其他应力应变关系简化模型,（1）幂强化弹塑性模型（2）割线模量公式 （3）普拉格模型,（1）幂强化弹塑性模型,幂强化弹塑性模型如右图所示，即 =An 式中：n为强化系数，是介于0和1之间的正数当n=0时，代表理想塑性体的模型；当n=1时，则为理想弹性体模型。,另外，幂强化曲线与多数工程材料的实际性能相接近，并且便于应用，适用于应变较大的问题。,（2）割线模量公式,如右图所示：曲线将开始阶段的直线部分延长，使其与过点A的垂直线相交于C，则A点的应力为=tan- 线段取决于，且随的增大而增长。设与的函数关系已由试验求得为 式中()由材料的性质确定。A点的应力可写为,式中E=E1（）为A点的割线模量。,（3）普拉格公式,该公式的图线如又右图所示。它没有尖锐的屈服点，从弹性区逐渐地过渡到塑性区。曲线开始时有斜率E，弯过来以后渐渐地趋近于应力s，且变形在弹性量级时应力就很快到达s。,普拉格曲线模型，即,注：在实际解决问题中，究竟采用哪种模型或经验公式，要由所使用的材料和所研究的变形范围来确定。,3 三杆桁架弹塑性平衡分析,1. 线性强化弹塑性材料（1）弹性阶段 （2）弹塑性阶段 （3）塑性阶段 2. 采用其它材料简化模型的三杆桁架 （1）线性强化刚塑性材料 （2）理想弹塑性材料 （3）理想刚塑性材料 3. 三杆桁架卸载后的残余应力和残余应变 三杆桁架如图7-9所示。假设桁架结构和荷载左右对称，且各杆横截面积均为A,在D点受竖直荷载P.,图7-9 对称三杆桁架,1. 线性强化弹塑性材料,设1和2分别表示杆件的应力，1和2分别表示1杆和2杆的伸长，1和2分别表示其应变。平衡方程：A1+2A2cos=P（a）几何方程：2=1cos（b）,应力应变关系：,（c）,（1）弹性阶段,当载荷P足够小时，三杆均处于弹性状态。如果P值增大，因为1 2，所以杆1最先到达塑性状态。此时， 1 = s， 1 = s。由几何方程可知2=scos2 。利用应力应变关系第一式，可得2值，即2=Escos2 。将1和2数值代入平衡方程（a）式，得桁架开始出现塑性变形的载荷为Pe=sA(1+2cos3) (7-9) 将Pe称为结构的弹性极限载荷。,（2）弹塑性阶段,当PPe ，但1s、2s时，杆1进入塑性状态而杆2仍处于弹性状态，称为结构的弹塑性阶段。设此时 ，由几何方程（b）式得 。杆1和杆2分别采用应力应变关系（c）式的第二和第一式，得其应力值。代入平衡方程（a）式，得此时的相应载荷为 （7-10）载荷P与杆1的应变1= 相对应。 当结构弹塑性阶段结束时，2= 、 2 =s，杆2也开始进入塑性状态，相应的载荷为 （7-11）可将Pep称为弹塑性极限载荷。,（3）塑性阶段,如果载荷P由Pep值继续增加，则三杆均处于塑性状态。平衡方程和几何方程仍然适用，只是应力应变关系都须采用（c）的第二式。可以求出结构的塑性阶段用1= 表示的载荷为 （7-12） 由前面的分析可知，在载荷P由零逐渐增加的过程中，结构的变形可分为三个阶段。即弹性阶段：PPe；弹塑性阶段：PePPep；塑性阶段：PPep 。三个阶段中，结构的平衡方程、变形协调方程相同，而应力应变关系则应根据不同情况采用公式（c）的第一或第二式。,2. 采用其它材料简化模型的三竿桁架,（1）线性强化刚塑性材料线性强化刚塑性材料的三杆桁架，其变形可分为两个阶段。1.刚性阶段：由于问题的超静定性质，所以本阶段无法求出各杆应力。当本阶段结束时，可由前面的（7-12）式，令E得到相应载荷为 Ps=sA(1+2cos) （7-13） 2.塑性阶段：此时PPs，12s。用1= 表示的相应载荷，可令公式（1-12）中弹性模量E而得出 （7-14）,（2）理想弹塑性材料如果令线性强化弹塑性材料中的E1=0 ，即为理想弹塑材料。该种材料三杆桁架的变形分为三个阶段。1.弹性阶段：求解与线性强化弹塑性材料相同，其弹性极限载荷也为 Pe=sA(1+2cos3) （7-15）2.弹塑性阶段：当PPe，但有1=s、2s ，相应载荷可令公式（7-10）中 E1=0而得出 （ 7-16）本阶段结束的瞬时，2=s ，P达到极大值。可令（7-12）式中E1=0而得出 Ps=sA(1+2cos) （7-17） 3.塑性阶段：本阶段三杆的应变s为不定值。相应载荷可令（7-12）式中E1=0得出，或者令1=2=s由平衡方程直接得出，一般将它称为结构的塑性极限载荷。,（3）理想刚塑性材料该种材料的刚性阶段同样不能确定各杆内应力。开始进入塑性阶段，可由线性强化弹塑性材料三杆桁架塑性阶段载荷（7-12）式，令其中的E1=0且E而得出结构的塑性极限载荷Ps，或者令1=2=s直接由平衡方程得出Ps 。它与理想弹塑性材料三杆桁架的塑性极限载荷数值相等，即 Ps=sA(1+2cos) （7-18）,为了比较不同材料模型三杆桁架的承载能力，根据前面已有公式，取=45，并设各种材料模型的屈服极限和弹性模量取相同的数值，绘出的p-1图线如图7-10所示。四种材料的图线分别为图7-10 线性强化弹塑性材料：折线oabc；线性强化刚塑性材料：直线de；理想弹塑性材料：折线oafg；理想刚塑性材料：直线dfg。,图7-10 不同材料三杆桁架P1图线,3. 卸载后的残余应力和残余应变,在卸载过程中，只有弹性变形得到恢复，而塑性变形保持不变，并且卸载是服从线性关系的。3.1 单向拉伸时卸载单向拉伸时，使试件内应力达到，图7-11中的A点，此时s，对应的应变为。将试件卸载至*（B点）。由图可知 式中和为卸载时应变和应力的改变量，它们服从虎克定律。,（7-19）,图7-11 单向拉伸的卸载,3.2 三杆桁架的加载应力与应变研究图7-9所示的三杆桁架，设各杆均为线性强化弹塑性材料。首先将外载荷P增加到PPs。由前面的分析可知，各杆均处于塑性状态，利用基本方程（a）、（b）和（c）的第二式，可以求出，,（7-20）,3.3 相同载荷作用下的弹性应力和应变 将相同载荷P作用于三杆桁架，按弹性应力应变关系，求出相应的应力和应变为,（7-21）,3.4 卸载后的残余应力和残余应变 在三杆均进入塑性状态后，将载荷P卸除。卸载过程中杆内应力和应变按线性弹性规律变化，待载荷完全卸除后，各杆应力和应变的改变量即为公式（7-22）的数值。因此，桁架各杆的残余应力和残余应变为 （7-22）从上式可以看出，残余应力1*0，这是因为它们必须满足平衡方程：（1*+22*cos）A=0而残余应变1*和2*都大于零，并且满足变形协调关系： 2*=1*cos20,3.5 鲍辛格效应与反向屈服 鲍辛格效应使处于强化阶段材料的拉伸屈服极限提高，而反向压缩屈服极限降低。由前面的卸载分析可知，三杆桁架的杆1残余应力为压应力，若其数值达到此时材料的压缩屈服极限，将发生反向屈服。为了简化问题，假设材料提高后的拉伸屈服极限与降低了的压缩屈服极限之和，等于初始屈服极限的两倍，即假设材料为随动强化模型。现在据此讨论三杆桁架不发生反向屈服的条件，这就要求卸载时的应力变化范围不超过2s，即l2s将（7-21）第一式代入，就可得出桁架不发生反向屈服的条件为 P2sA（1+2cos3）=2Pe,4 加载路径对塑性变形和极限荷载的影响,理想弹塑性材料的三杆桁架，同时受竖直力P和水平力Q的作用，如图7-12（a）所示。桁架的横截面积为A，节点的竖直位移和水平位移分别以y和x表示。,图7-12 桁架的不同加载路径分析,此时基本方程如下平衡方程： 几何方程：应力应变关系：,（a）,(b),(c),且有,为了讨论问题方便，将上述基本方程用其增量表示为平衡方程：几何方程：应力应变关系：将载荷P和Q按不同的加载方案作用于桁架上，研究其对桁架应力和应变的影响。,（a）,（b）,（c）,且有,1.非比例加载 对桁架先仅施加载荷P，保持Q=0，相应有x=0。当1和3达到S的瞬时，由基本方程（a）、(b)、(c)可得然后，在保持节点竖直位移y不变的情况下施加载荷Q，这时P将有相应的改变。此时节点位移增量为y=0,x=x0,（7-23）,由增量形式的几何方程（b）可知，2=0,10,30这就是说，杆2不发生新的变形，杆1继续伸长，而杆3发生卸载，于是1=2=0, 3=E3=-E 由增量形式的平衡方程可以求得 （7-24）说明保持y不变，Q增加时P必须减小。当取3=2s时，则3=s，即杆进入压缩屈服，整个桁架再次进入塑性状态，也不能再增加。将各项增量代入平衡方程后，就有（7-25）,2. 比例加载由前面的讨论可知，非比例加载最终两项载荷的比例为P:Q=1: 。现在于整个加载过程中，保持按此比例增加载荷，直到桁架进入塑性状态。这种加载路径称为比例加载。当载荷从零开始增加时，桁架先是处于弹性状态，由基本方程（a）、（b）、（c）可得其中以1绝对值最大。当1=s时，外载荷、应力、位移分别为,(7-26),再继续增加载荷，则1=0。由增量形式的平衡方程（a）式及Q=P可得当2=2e+2=s时，将2的数值代入上式，得由P值求得3，可得3=3e+3=-s。整个桁架进入了塑性状态。利用基本方程可以进一步得到按比例加载至塑性极限状态时的应力、节点位移及极限荷载。,（7-27）,（7-27）,（7-25）,