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地质统计学Geostatistics,课程安排,第一章 绪论,地质统计学的概念,地质统计学的发展历程,地质统计学的发展趋势,地质统计学的教学内容,Analysis of variables in space Samples located close to each other are probably more similar than samples located far away from each otherThe spatial coordinates of the observed samples are built into the statistic formulae.Examples:Gold content in ore (ppm)Reservoir sandstone porosity (%)Reservoir sandstone bed thickness (metres)Geologic horizon depth, metres below MSLTerrain elevation, metres above MSL,What is geostatistics?,一、地质统计学的概念,一、地质统计学的概念,地质统计学（Geostatistics） Geostatistics is concerned with the study of phenomena that fluctuate in space and/or time （Geostatistics Glossatyand Muktilingual Dictionary ROlea.editor. Oxford Universily Press New York.1991）,地质统计学是研究在空间（或时间）域内变化的现象，它提供了一套理解和模拟空间变量的一套确定性和统计性的工具。地质统计学是数学地质的一个重要分支，而数学地质是地质科学中一门新的边缘学科。,地质学数学地质地质统计学 地质统计学是地质学由定性向定量化发展的产物,地质统计学概念分析,在地质统计学中，其前缀“geo”很清楚地将地质统计学和地球科学联系起来。地质统计学词典将地质统计学定义为“统计方法在地球科学，特别是地质学中的应用”。地质统计学为地质学家分析数据以及将分析和解释的结果转换为油藏预测提供了一套工具。这套工具永远不能代替数据，但能够帮助建立解释模型及其相应的数值模型。在建立模型过程中，地质统计学不可能替代地质学家的经验，但它有助于建立模型。,地质统计学是以区化变量理论作为基础，以变异函数为主要工具，对既有随机性又具有结构性的变量进行统计学研究的一门学科。（侯景儒，1998）田世丰在数学地质浅析（1998）一文中将地质统计学定义为：地质统计学是以矿石品位和矿床储量的精确估计为主要目的，以矿化的空间结构（空间相关）为基础，以区域化变量为核心，以变异函数为基本工具的一门新兴学科。,国内学者对地质统计学的定义,Why use geostatistics?,To make better estimates of (reservoir) variables where they are unknownTypically used in mapping and deterministic property modelling.These techniques are known as estimation or interpolation methods, they produce smooth models.To create heterogeneous (reservoir) models with typical spatial correlationSuch models should give a better prediction of reservoir performance.These techniques are known as (stochastic) simulation methods and produce models with a realistic amount of statistical ”noise”.Survey design; data sampling density.Variables with rapid variation in space must be densely sampled. Geostatistics is an established branch of geoscience and statistical scienceGeologists, geophysicists, petrophysicists and reservoir engineers are expected to discuss the subject, evaluate previous work based om geostatistics, and evaluate which methods should be used in each reservoir study.,Why use geostatistics?,三维孔隙度模型,三维渗透率模型,以岩相为约束建立的孔隙度、渗透率模型可以精确地刻画储层非均质性的变化，从而预测有利的储集相带，这是地震反演所不及的,泥质含量模型栅状图,孔隙度模型栅状图,渗透率模型栅状图,应用储层建模成果，可以任意方向切割，观察储层属性的变化，为有利目标的优选及井位部署提供直接的地质依据,Nm32小层砂岩厚度等值线图,Ng11泥质含量切片,Ng11孔隙度切片,Ng11渗透率切片,二、地质统计学的发展历程,1、 萌芽阶段（20世纪40年代50年代末） 为寻求合理、先进的矿床储量估算方法，有人提出了变异函数（variogram）的基本概念，随后南非金矿的矿山地工程师克里格（krig）及南非统计学家西舍尔（H.S.Sichel），提出了根据样品空间位置不同，相关程度不同来计算块段品位及储量而使其估计误差最小的储量计算方法。2、形成阶段（20世纪50年代末60年代）50年代末，法国概率统计学家马特隆（G Matheron）在克里格及西舍尔研究的基础上，对十几个不同类型的矿床继续深入研究，于1962年首先提出了区域化变量（regionalized variable）的概念，为了更好地研究具有随机性和结构性的自然现象，他提出了地质统计学（Geostatistics）一词，发表了应用地质统计学论从而为地质统计学奠定了理论基础。3、发展阶段（20世纪70年代 ）经过30多年的发展，地质统计学从理论研究到实践应用都有了一大批成果，其应用领域也不断地扩大和深入，在地质、矿山、环境保护、石油勘探、开发等10余个学科都不同程度地得到应用，越来越受到世界各国的重视。,三、地质统计学的发展趋势,1）从地质统计学的发展及应用看，它是一门新兴的交叉边缘学科，具有广阔的发展空间。2）由于研究对象的复杂性，地质统计学在许多多方面还存在着理论上的不足和不完善，要使地质统计学达到完全成熟和实用，还有许多工作待作。目前对于地质统计学的反对意见也很多，有人根本就不相信地质统计学的结果。3）地质统计学与其它学科的相互渗透，如贝叶斯理论，模糊数学及分维理论的结合，可能会产生新的突破。,四、地质统计学的研究内容,随机变量 变差函数 克里格 条件模拟,1、随机变量和随机函数,按定义，地质统计学是“研究在空间（或时间）内变化的现象，”例如：岩石的物理性质包括、金属或污染源的含量，地理性质（人口密度、海拔高度）这些连续性变化的变量，离散性的变量如岩石类型，昆虫或化石的属种，沉积微相类型等。把任何未知样本看作一个随机变量（RV）Z，这个随机变量的概率分布描述了有关Z的不确定性。随机变量：按照一定的概率分布能够取得不同数值的变量，随机变量的模型，即随机变量的空间分布，通常依赖于所处的空间位置，同时也随已有信息的变化而变化。,连续型随机变量的随机函数连连续性随机变量Z（u）的累积概率分布函数（ccdf）可以表示为：,随机函数,离散型随机变量的随机函数在只能取得K个不同值的离散随机变量的情况下，使用类似的表示方法,2、变差函数,变差函数（Variogram）定义为两个相距h的随机变量的增量 的方差变差函数是地质统计学研究的基本工具，其定义为两个相距h的随机变量增量 协方差，表达式为：其中，C(h)是平稳协方差函数是平稳方差。变差函数研究内容包括变差函数的定义，性质与功能，变差函数的理论模型以及变差函数的结构分析,3、克里格,克里格插值(krigging)克里格是根据协方差函数或者变差函数的先验模型，使估计方差达到最小的线性回归方法的综合，即最优线性，无偏估计。克里格算法的实值是利用邻近的数值Z(a),a=1.2.3n，估计一个未取样值Z()。主要研究各种克里格的数学基础，不同克里格方法的表达式及其应用条件，克里格在矿产估算中的应用。,4、随机模拟,随机模拟是从一个随机函数(RF)模型中提取多个等概率的所有随机变量（RV）的联合实现。在随机模拟中，研究的内容包括随机模拟的定义及其与插值的区别，随机模拟的基本原理，随机模拟的分类，典型的随机模拟方法及其计算机实现。,本课程还将介绍地质统计学在储层建模中的应用包括资料的准备建模的步骤，成果的显示等。,地质统计学与经典统计学,经典统计学在地质研究中的缺陷1、经典统计方法在统计样品品位的频率及其分布时不考虑各样品的空间分布。但在地质研究中，很多地质变量的空间分布则是必须考虑的因素，经典统计学反映不了地质变量的空间变化性。2、经典概率统计学研究的对象必须是纯随机变量，而地质研究中的许多地质变量并不是随机变量，而是既有随机性又有结构性的变量。3、经典概率统计学所研究的变量原则上都是可以无限次重复试验或大量观察的，但地质变量则不行。因为一旦在矿体某处取一样品后，严格说来，就不可能在同一地方再次取到样品了。4、经典统计学一般要求每次抽取样品必须是独立进行的，但地质变量在两个相邻样品中的值就不见得是独立的，往往有某种程度的相关性。,地质统计学的优点,1、地质统计学不是简单地把现成的概率统计理论、方法直接搬到地质领域中，而是根据地质变量本身的特点来选择合适的数学概念、理论、模型、方法，并加以改造、创新，使之适应地质变量的特殊性的要求。其最鲜明的特点就是地质与数学相结合。2、最大限度地利用了地质研究中所能提供的各种信息。包括空间信息、所有已知样品信息等。3、不但可以进行样品的整体估计，最重要的是可以进行样品的局部估计4、应用地质统计学方法得到的地质变量的精度比传统方法要精确，可以避免系统误差。5、地质统计学方法可以直接给出估计精度来。其标准就是克里格方差。6、应用地质统计学方法的计算机实现，实现地质变量的科学化、精确化和自动化。7、地质统计学中的条件模拟可以很好再现变量的空间变化性，是研究储层非均质性的有力工具。,参考书,1 Geostatistics for Engineers and Earth Scientisc .icardo A.Olea Kluwer Academic Publishers 19992 An introduction to applied geostatistics . Edward H.Isaaks and R.Mohan Srivastava .New York Oxford Oxford University Press 19893 introduction to Geostatistics-Applications in Hydrogeology.P.K.Kitanidis Cambridge University Press.20004 Geosatsitcal Reservoir Modeling . Clayton V.Deutsh. Oxford University Press 20025 实用地质统计学 侯景儒 尹镇南等 地质出版社 1998.76 地质统计学在油藏描述中的应用 张一伟等编译 石油大学出版社 1992.27 实用地质统计学程序集 孙洪泉 康永尚等 地质出版社 19978 线性地质统计学 王仁铎 胡光道 地质出版社 19889 随机建模和地质统计学 原理、方法和实例研究 Jeffrey M.Yarus ，Richard L. Chambers 编 穆龙新 陈亮译 石油工业出版社 2000.910 油气储层随机建模 王家华 张团峰 石油工业出版社 2001.411各种期刊杂志相关文献,第二章 预备知识,一、概率论基础 二、随机变量及其概率分布 三、随机变量的数字特征四、统计推断基础,一、概率论基础,1、随机事件 概率论是研究自然界偶然现象的科学，在概率论中把偶然现象称为随机现象。 在自然界，介于“必然事件”和“偶然事件”之间的即是“随机事件”。这类事件的特征是在一定条件下可能发生，也可能不发生，或者在一定条件下有多个可能发生的结果，而其结果事先不能预测。,2、统计概率 频率：设随机事件A，在n次试验中发生m次，其比值m/n称为随机事件A的频率 显然 当重复试验的次数充分大时，随机事件A的频率（A）常常稳定在一个确定的数字附近，这就是概率。 概率：在一定的相同条件下，重复作n次试验中发生了m次，当n充分大时，随机事件A的频率m/n稳定在某一数字P附近，称数值P为该随机事件的概率。 记为 P(A)=P性质 （1）0P(A)1 对于任意事件A，总有 (2) P(V)=0 V不可能事件 （3）P(U)=1 U必然事件,概率虽然是用频率来刻划的，但概率与频率是两个不同范畴的概念。随机事件的频率与进行的试验次数有关，而随机事件的概率则是客观事物本身的属性。一般地说，当试验次数足够大时，频率可作为概率的近似值。,3、古典型概率 古典概率是一类简单的随机现象，它具有如下特征：1)在观测或试验中，它的全部可能结果为有限个，记作E1、E2、E3En,即穷尽性2)在几个可能结果中，任何两个可能结果不可能同时发生，即这些事件是两两互不相容的，即互不相容性。3)事件E1、E2、E3En发生的可能概率相等，即等概率性。4)在n个可能结果中，至少有一个结果发生，即必然性。,具备上述四种性质的事件群，称作完备群，组成完备群的事件叫基本事件。若试验时某一基本事件的发生能导致随机事件A的发生，则称这个基本事件有利于随机事件A。若以N个互不相容且等可能性的事件构成的完备群代表试验得到的一切可能结果，其中M个事件有利于随机事件A，随机事件A的概率便等于有利的基本事件数M与基本事件的总数N的比值，即,4、概率的基本运算1）加: P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互不相容 同理 P(A1+A2+A3+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(An) 2)乘事件A和事件B有连带关系，即在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率（带有附加条件的概率），记作P（A|B）即或不带有附加条件的概率，即事件B的发生不影响事件A出现的概率，故,全概率公式式中，PHi(i=1、2、3n)为已知事件Hi的概率，P（A|Hi）为事件A在Hi已发生的条件下的条件概率；Hi事件两两互不相容，是样本空间的一个分割,甲、乙、丙三个钻井队施工，甲、乙、丙钻井队打钻的孔数分别是总孔数的20、35、45，其见矿率分别是3、2、1，问从总钻孔中任意指定一个钻孔的见矿概率是多少？解：设 H1为甲用钻井队打钻的孔数 P(H1)=0.20 H2为乙用钻井队打钻的孔数 P(H2)=0.35 H3为丙用钻井队打钻的孔数 P(H3)=0.45 A为钻孔见矿数 即 P(A|H1)=0.03 P(A|H2) =0.02 P(A|H3)=0.01,由已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率，这就是全概率公式所起的作用,逆概率公式（贝叶斯公式Bayes）假设事件A只能与两两互不相容的事件H1、H2、Hn之一同时发生，且有：则,该式称为逆概率公式，又可称作“后验概率”。它反映了实验之后对各种发生“原因”可能性的大小 。地质上的储层分类评价等可应用该方法。,同理,二、随机变量及其概率分布,随机变量是基本事件的函数，一般定义为：根据随机实验的结果而取得不同数值的变量称作随机变量。一般用希腊字母、，表示。 随机变量可分为离散型的和连续型的两种。若随机变量所可能取的值可以一一列举出来，即是有限的，则为离散型随机变量；若随机变量所可能取的值不能一一列举出来，则称连续型随机变量。随机变量的取值可以通过随机事件概率的方法来研究。从概率角度出发，可以给随机变量下一个更为科学的定义，即：若某一试验结果可用一变量来表示，依这两种不同类型的随机变量，有两种情形：（1）若随机变量是离散型的，则任一取值有确定的概率（2）若随机变量是连续型的，则对任一实数，X有着确定的概率此时则称为一个随机变量,由定义可以看出，随机变量不仅需要给出它的取值范围，还需给出取值的概率。把变量可能取的值及其相应的概率称为随机变量的概率分布,1、离散型随机变量的概率分布（1）伯努利实验和二点分布 只有两个可能结果的实验，称作伯努利实验 若随机变量的分布满足如下条件： 则称 服从二点分布（P为参数） 二点分布又称作伯努利分布,（2）二项分布若在相同的条件下进行n次独立试验，每次试验只有两种可能结果，成功或失败，分别记作A或 ，那么在n次试验中事件A出现的次数是随机变量，服从于二项分布，出现K次的概率为： (0P1,q=1-P)式中， 为n次试验中事件A出现K次的概率，P为一次试验中事件A出现的概率，q为一次试验中事件不出现的概率； 为二项系数。当n=1时，二项分布就是二点分布,（3）泊松(Poisson)分布在一定的条件下，随机事件发生率总能相对稳在一定的值附近，这种随机现象服从泊松分布。若在一定时间或空间范围内，某随机事件的发生率是固定的，其随机概率的概率分布服从： (k=0,1,2, 0)则称服从泊松分布式中，k为指定的发生次数；e为自然对数的底，为参数,2、连续型随机变量的概率分布（1）正态分布 若随机变量的概率密度为: (-x+) (-u+)则称服从正态分布N,简记为N 和 是两个参数，分别是随机就量的 数学期望和 标准差，e是自然对数的底，为圆周率显然，当 时此时的正态分布为N（0，1），称作标准正态分布,（2）对数正态分布若随机变量的概率密度为则称服从对数正态分布，记作 G为几何平均数，为标准差,连续型随机变量的分布类型很多，如均匀分布、指数分布、分布等等。正态分布是数理统计中最重要和最基本的。在客观的自然界中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，而对于许多不呈正态分布的数据，经过对数处理后，表现出服从正态分布。,二、随机变量的数字特征,1、数学期望所谓期望一般是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值集中位置或指平均水平，例如设随机变量的概率分布是：我们希望找到一个能体现随机变量取值的“平均”大小，这个取值“平均”大小的概念，就是随机变量的数学期望，简称期望。,（1）离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布是： x1 x2 xk P P1 P2 PK 则称和数 为随机变量的数学期望，记作E（），即,(2)连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量的分布频率为P（x），则落在无穷小区间 内的概率，近似等于则有： 则是 的数学期望（或均值）,数学期望的几个性质,常数 的数学期望等于常数,常数 与随机变量的乘积的数学期望等于常数与随机变量的期望的乘积,常数 与随机变量的和的数学期望等于常数与随机变量的期望的和,2 方差 研究随机变量，仅仅知道体现随机变量取值平均大小的均值是不够的，还需要知道随机变量的取值是如何在均值周围变化的。 方差是用来反映随机变量取值分散程度的，是刻划分散性的指标。我们通常把随机变量的方差称作它的分布的方差。与数学期望一样，分离散型随机变量和连续型随机变量分别定义方差,(1)离散性随机变量的方差设离散型随机变量的概率分布为：,k=1,2,则称和数,为随机变量 的方差，记作 ，显然 当的可能值不是有限个数时，要求级数D()收敛，若级数发散，则称的方差不存在,（2）连续型随机变量的方差设连续型随机变量的概率密度为P(x)，则称,为随机变量的方差，记作D() ，显然且当积分发散时，方差不存在。从上式容易看出， D() 实际上是的函数（x-E)2的数学期望，即D()=Ex-E()2,有时以方差的平方根来表示，记作,Gray scale highlights discontinuities. Black areas represent fault planes. Areas are revealed more clearly compared with conventional seismic volumes.,Variance volume,方差的应用实例,High amplitude events can be seen terminating against the faults in the variance data.,Variance and amplitude cube blended together.,By using transparency on both the variance and amplitude cubes, the entire survey fault pattern and high energy amplitudes can be viewed in one panel. This shows where the potential prospects are terminating against the faults.,Variance Cube makes fault interpretation easier. The image displays a fault plane tessellated from fault picks.,方差的简单性质,D(c)=0 常量的方差等于0,随机变量与常量之和的方差等于的方差,常量与随机变量乘积的方差等于常量的平方与的方差的乘积,两个相互独立的随机变量和的方差等于二者方差的和,（3）协方差和相关系数自然界中的许多随机现象，同时要用几个随机变量来描述才能得到客观结论。这些随机变量之间，一般存在着某种联系。因此，在研究某一随机现象时，就需要把这些随机变量当作一个整体（即向量）来研究。在研究随机现象时，每一次试验结果看作一个向量(x1,x2,xn),而 =(x1,x2,xn)便是一个n维的随机向量，称为n维随机变量。一般把n个随机变量x1,x2,xn的整体=(x1,x2,xn)称为n维随机向量,（1）协方差协方差反映各个随机变量协同变化的密切程度，对于二维随机向量，协方差反映两个随机变量协同变化的程度，协方差的大小则反映了两个随机变量协同变化的密切程度。协方差记着Cov。,显然，一个随机向量=(x1,x2,xn)，可以计算其两两随机变量的协方差,令 可计算协方差矩阵B,B是个对称矩阵，主对角线元素为方差,（2）相关系数协方差是有量纲的量，它所反映的两个随机变量协同变化的程度与随机变分的分散程度有关，为消除分散程度的影响，引入相关系数：,r=0表示 与 不相关， 表示 与 存在线性关系，,大数定理和中心极限定理,在大量随机试验中，每次试验结果的偶然性在一定程度上可以互相抵消，互相补偿，从而显示出必然的规律。概率论揭示自然界中随机现象的方法，常常采用极限方法，从而有一系列极限定理导出。一类用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理，统称为大数定理。另一类是随机变量和极限分布服从正态分布的条件是什么，这类定理称作中心极限定理。这是概率论中最基本的两个极限定理。,1、大数定理,设1 ，2 ，n 是独立同分布的随机变量数列，其中E(k)，D(k)(k=1,2,）存在 ,并对任何0，有：,其中Sn= 1 +2 +n ,只要n充分大，算术平均值(Sn/n)接近于数学期望。通常把上式服从同一分布的随机变量数1 ，2 ，n 叫做服从大数定律（或称弱大数定律）。若不考虑D(k)是否存在，只要E(k) 存在，上式亦存在，即,这时把服从同一分布的随机变量数列1 ，2 ，n 称作服从强大数定律。大数定律揭示的规律是：只要n充分大，观测结果算术平均值接近于数学期望几乎是必然事件,2、中心极限定理,设1 ，2 ，n 是独立同分布的随机变量数列，且E(k)、D(k) (k=1,2,）存在 ,同时D(k)不等于0,一切实数ab，有,其中Sn= 1 +2 +n，于是,因此上式可以写成,该式表明，只要n充分大，随机变量 便近似服从于标准正态分布。从而 近似地服从正态分布。中心极限定理表明了不论原始数据的分布如何，当样本增加到一定数目时，样本平均数的分布接近正态分布。即样本平均数的平均数等于总体平均数 及样本平均数的方差等于总体方差除以样本大小,四、统计推断基础,统计推断的基本思路是：从研究对象的全体中，抽取一小部分来进行观察和研究，从而达到对全体（整体）进行推断的目的，所用的方法主要有参数估计和假设检验等方法。,1、有关统计推断的几个基本概念总体：研究对象的全体样本：总体的一部分个体：组成总体的每个基本单元理论分布：总体的真实分布 ( F(x)经验分布：样本的分布 (Fn*(x),2、总体与样本数字特征,1、算术平均值2、几何平均值3、众数：对应于最大频数值的组中值，记为M纵4、中位数：样本值按从大到小的顺序排列后，居于中间位置的样品 值，记为M中位5、方差：6、变异系数7、极差8、协方差9、相关系数,第三章 区域化变量与变差函数,区域化变量及其基本特征变差函数的定义变差函数曲线变差函数的理论模型变差函数的结构分析,第一节 区域化变量,区域化变量（Regionalized Variable) 是地质统计学研究的对象,它是一种在空间上具有数值的实函数(G Matheron),也就是说,它在空间的每一个点取一个确定的数值,即当由一个点移到下一个点时,函数值是变化的,区域化变量图示, 区域化变量是以空间点x 的三个直角坐标（xu,xv,xw)为自变量的随机场 Z(xu,xv,xw)=Z(x) 当对它进行一次观测后观测后，就得到了他的一个实现z(x),它是一个普通的三元实值函数或空间点函数,区域化变量的两重性,观测前是一个随机场，依赖于坐标（xu,xv,xw)观测后是一个空间点函数，在具体的坐标上有一个具体的值,Z(x2),Z(x1),Z(x6),Z(x3),Z(x5),Z(x8),Z(x4),Z(x7),z(x2),z(x1),z(x6),z(x3),z(x5),z(x8),z(x4),z(x7),随机性,确定性,观测前随机变量的集合,观测后实数（实现）的集合,区域化变量举例,在地质、采矿领域中许多变量都可看成是区域化变量：资源储量、储层厚度、地形标高、矿石内有害组分含量、岩石破碎程度、孔隙度、渗透率、泥质含量等。有的是二维的，有的是三维的。区域化变量正是地质统计学研究的对象。,区域化变量的功能,由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反映地质变量的结构性与随机性。 当空间一点x固定之后，Z(x)（表示x点处的矿石品位）就是一个随机变量，体现了其随机性。在空间两个不同点x及x+h(此处h也是个三维向量(hu,hv,hw)。它的模 表示x点与(x+h)点的距离）处的品位Z(x)与Z(x+h)具有某种程度的相关性，这就体现了其结构性的一面。,区域化变量的属性,1、空间局限性2、连续性3、异向性4、相关性5、叠加性,空间局限性,区域化变量被限制于一定的空间，该区间称为区域化变量的几何域。例如，矿体的范围，油藏的范围，断块的范围等都可以看成是区域化变量的几何域。,连续性,不同的区域化变量具有不同程度的连续性，这种连续性是通过区域化变量的变差函数来实现的,异向性,区域化变量在各个方向具有不同的性质时称为各向异性，否则称为各向同性。在地质上，各向异性是绝对的，而各向同性是相对的,percent,Por,Perm,相关性,区域化变量在一定的范围之内呈现一定程度的空间相关性，当超出这一范围之后，相关性变弱以至消失,叠加性,对于任一区域化变量而言，特殊的变异性可以叠加在一般的规律之上,地质统计学的若干基本假设,平稳假设 内蕴假设 估计方差 离差方差,平稳假设(stationary assumption),任何统计的推断,不论是单变量的累积概率分布函数(cdf)或是它的任何阶矩（均质、方差），还是多变量的cdf及其任何阶矩（协方差），都需要重复取样。但是在许多情况下，在某一个位置（u)只有一个样品,那么z(u)是已知的。也就是说，区域化变量的取值是唯一的，不能重复，为了克服这个困难，提出了如下的平稳假设。,平稳假设,假设区域化变量Z(x)的任意n维分布函数均不因空间点x发生位移h而改变，即：这种假设要求的条件太强了，实际上很难满足。在地质统计学中，只需要假设Z(x)的一阶、二阶矩存在且平稳就够了,二阶平稳假设,当区域化变量Z(x)满足下列两条件时，称其为二阶平稳的：1、在整个研究区内Z(x)的数学期望均存在，且等于常数，即 E(Z(x)=m（常数） x2、在整个研究区内Z(x)的协方差函数存在且平稳（即只依赖于基本步长h，而与x无关，即： CovZ(x),Z(x+h)=EZ(x)Z(x+h)-EZ(x)EZ(x+h) =EZ(x)Z(x+h)-m2 =C(h) x h当h=0时，上式变为 VarZ(x)=C(0) x 此式说明：方差函数也存在，且为常数C(0),本征假设（内蕴假设）,在实际应用中，有时连二阶平稳假设的要求也不能满足，（如协方差函数不存在或方差函数不存在等）。这时，可以再放宽条件，得到本征假设当区域化变量Z(x)的增量 Z(x) Z(x+h)满足下列两条件时，称其满足本征假设： 1、在整个研究区内有 EZ(x)- Z(x+h)=0 ， x ，h 若Z(x) ，x存在，则此条件等于 EZ(x)EZ(x+h)=m(常数） x ，h 2、增量 Z(x) Z(x+h)的方差函数存在且平稳(即方差函数不依赖于x) VarZ(x)- Z(x+h)= EZ(x)- Z(x+h)2-EZ(x)- Z(x+h)2 = EZ(x)- Z(x+h)2=2(x,h)=2 (h) x ，h,变差函数,变差函数是地质统计学所特有的基本工具，它既能描述区域化变量的结构性变化，又能描述其随机性变化。是地质统计学计算的基础。,变差函数的定义,设区域化变量Z(x)定义在一维数轴x上，把Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义为Z(x)在x轴方向上的一维变差函数,记为:,地质统计学上把2(x,h)定义为变差函数, (x,h)称为半变差函数。一般情况下把(x,h)称为变差函数,在二阶平稳假设或本征假设（内蕴假设）的条件下，有：EZ(x)EZ(x+h) x ，h 于是变差函数可以简化为：,变差函数的简化,在内蕴假设的条件下，变差函数(x,h)与x无关,只与分隔两个两个样品之间的距离h有关, (x,h)可以改写为:,变差函数定义,变差函数是在任一方向，相距|h|的两个区域化变量值Z(x)及Z(x+h)的增量的方差，它是h和的函数，其通式为：,连续情况下,离散情况下, A Variogram is a method for describing spatial variation of a reservoir property. It is based on the principle that closely spaced samples are likely to have a greater correlation than those located far from one another, and that beyond a certain point a minimum correlation is reached and the distance is no longer important. This spatial correlation may of course be anisotropic and several variograms orientated in different directions may therefore be required to describe the variation in a property. By generating a variogram from input data it is possible to then use this variogram when modeling properties and thus preserve the observed spatial variation in the final model. Variogram analysis requires that the data is stationary. In another words, the local mean is equal to global mean,Essential of Variograms,实验变差函数（Experimental variogram),在实际应用中，样品的数目总是有限的。把有有限实验样品值构成的变差函数称之为实验变差函数，记为*(h),理想的变差函数曲线图,C0:块金效应，它表示h很小时两点间的样品的变化。可以为0，称为无块金效应a:变程，当 ha时，样品间就不存在相关性。a的大小反映了研究对象(如油藏)中某一区域化变量(如孔隙度)的变化程度，可以用在 a范围以内的已知信息对待估区域进行预测。CC0+C1，称为总基台值。C1:基台值，是先验方差与块金效应之差 c=C-C0,Principal of Experimental variogram,A variogram is a plot of variability in terms of semi-variance against separation distance. It is generated by finding pairs of data with similar separation distances and then calculating the degree of dissimilarity between these pairs.,h=50 m NE/SW,Cov (h=50) (h=50),Map,h=100 m NE/SW,h=200 m NE/SW,Cov (h=100) (h=100),Cov (h=200) (h=200),50,100,200,150, (h),h,h-scatterplots,Variogram,h-scatterplots,When calculating sample variogram, the program searches for data pairs in a specified direction separated by given distances. The search distance is divided into lag search intervals defined by number of lags used.Due to data values being more or less randomly located in space we have to accept a tolerance for the separation between pairs of data values both in direction and separation distance.,Data sampling for Variograms,Sampl