《线性代数§》PPT课件.ppt

6.2 化二次型为标准形,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,对于二次型, 我们讨论的基本问题是: 寻求可逆的线性变换xCy, 将二次型化为标准形.,或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使得,为对角阵.,设,说明,如何找矩阵C？,一、正交变换法,已知结论：,对任意实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，,使得,其中,为矩阵A的n个特征值.,因为Q为正交阵，所以,于是,由此得到：,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例1: 将二次型,通过正交变换x=Py化成标准形.,f =17x12+14x22+14x324x1x24x1x38x2x3,解: 1. 写出对应的二次型矩阵.,2. 求A的特征值.,= (18)2 (9),从而得A的特征值: 1=9, 2=3=18.,3. 求特征向量.,将1=9代入(AE)x=0得基础解系: 1=(1, 2, 2)T.,将2=3=18代入(AE)x=0得基础解系:,2=(2, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,将特征向量正交化:,得正交向量组,取 1 = 1, 2 = 2,1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(2, 1, 0)T, 2 =(2/5, 4/5, 1)T.,将正交向量组单位化, 令,得,4. 作正交变换,令,于是所求正交变换为:,且有,f = 9y12 + 18y22 +18y32 .,（1）几何意义：在自然基 坐标系下的 二次曲面,说明：,17x12+14x22+14x324x1x24x1x38x2x3 = 1,在另一直角坐标系,下的方程为,9y12 + 18y22 +18y32 = 1 .,它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，,主轴长度分别为,为A的特征值，,而变换 的矩阵 正是由基 到基 的过渡矩阵。,（2）一般，,的符号决定二次曲面的类型,三正：椭球面；两正一负：单页双曲面；一正两负：双页双曲面；二正一0：椭圆柱面一正一负一0：双曲柱面,（3）二次型的标准形不是唯一的.,(4) 正交变换的优点：保持几何形状不变,保持度量.,(5) 利用正交变换法时，一定有,为A的特征值。,一般地；,不一定是A的,特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.,f =2x1x2+2x1x32x1x42x2x3+2x2x4+2x3x4,例2: 求一个正交变换x=Py, 把二次型,化为标准形.,解: 二次型的矩阵为,A的特征多项式为,计算特征多项式:,把二, 三, 四列都加到第一列上, 有,把二, 三, 四行分别减去第一行, 有,从而得A的特征值: 1=3, 2=3=4=1.,当1= 3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系:,单位化即得,当2=3=4=1时, 解方程组(AE)x=0, 可得正交的基础解系:,单位化即得:,于是正交变换为:,且有,f = 3y12 + y22 + y32 + y42.,解：,二次型的矩阵为:,求得特征多项式为: | AE | = (4)(9).,于是A的特征值为: 1 = 9, 2 = 4, 3 = 0.,对应特征向量为:,例3:,化为标准形, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.,求一正交变换, 将二次型,f(x, y, z)=5x2+5y2+3z22xy+6xz6yz,正交变换为:,化二次型为,f = 9u2 +4v2.,可知 f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程.,将其单位化得,在o-xyz坐标系中的图形,在o-uvw坐标系中的图形,例4 已知二次型 经过正交变换 化为标准形 求 的值和正交矩阵 .,解：二次型和标准形的矩阵分别为：,由题设条件 又,故 与 相似，从而A有特征值,所以有,又,故,由 解方程组 得特征向量：,由 解方程组 得特征向量：,由 解方程组 得特征向量：,单位化得：,正交矩阵为：,1. 实二次型的化简问题, 在理论和实际中经常遇到, 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系, 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题, 请注意这种研究问题的思想方法.,2. 实二次型的化简, 并不局限于使用正交矩阵, 根据二次型本身的特点, 可以找到某种运算更快的可逆变换. 下一节, 我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法.,二、拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几何形状不变.,问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准形?,问题的回答是肯定的. 下面首先介绍拉格朗日配方法.,1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij0 ( i j ), 则先作可逆线性变换:,化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按1中方法配方.,( k i, j ).,例5: 化二次型,为标准形, 并求所用的线性变换矩阵.,f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3,f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3,解:,用含有x1的项配方,=x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3,=(x1+x2+x3)2x22x322x2x3+2x22+5x32+6x2x3,=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3,=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2,令,所用变换矩阵为,f = x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 = y12+y22,解: 由于所给二次型中无平方项,f =2 x1x2+2 x1x36x2x3,例6: 化二次型,为标准形, 并求所用的线性变换矩阵.,所以,令,即,代入二次型 f =2 x1x2+2 x1x36x2x3, 得,f =2y122y224 y1 y3+8y2 y3,再配方, 得,f =2(y1- y3)22(y22y3)2+6 y32.,令,即,f =2z122z22+6 z32.,得,所用变换矩阵为,| C | =20.,用配方法时要注意所用的变换是否为可逆变换.,按上述标准程序配方时一定是可逆变换.,三、初等变换法,定理：对任一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆阵C，,使得,即：任一n阶实对称矩阵A，都可以通过一系列同类型,的初等行、列变换化为对角阵.,1、同类型的初等行列变换：,当 C 可逆时，一定存在一列初等矩阵，使得,于是：,且,注意到,所以,表示对A进行同类型的,初等行，列变换.,2、可将对称矩阵A化为对角阵用数学归纳法证明,证明：对A的阶数n用数学归纳法,当n1时，显然成立。,假设结论对n1阶对称矩阵成立，那么,对于,（1）若,先做,可将第二行的,变为0,再做,可将第二列的,变为0,继续做下去，可将第一行和第一列的其余元素变为0，得到的矩阵：,其中,为n1阶对称矩阵。,（2）若,则先将第一行和第 i 行交换，,再将第一列和第 i 行交换，则,为第一行第一列的,元素，从而化为情形（1）.,（3）若主对角元均为0，,则先做,为第一行第一列的元素，,也可化为情形（1）.,再做,则,由归纳假设可知结论成立.,由,可知方法如下:,同类型的初等,行，列变换,或：,同类型的初等,行，列变换,一般采用第二种方法.,例7：将二次型,化成标准形，并求变换矩阵C.,解：二次型 f 的矩阵为,方法一：,故,且 为坐标变换，于是,方法二：,于是做坐标变换,其中,则将二次型化为标准形,又,故,例8：已知二次型,的秩为2，,（1）求参数c及二次型所对应的矩阵的特征值；（2）判定 f 1 表示什么曲面？,解：二次型所对应的矩阵为,由题设知,所以 |A|=0,即,所以 c3.,A的特征方程为,故A的特征值为,二次型可通过正交变换化为,所以 f 1 表示椭圆柱面.,例9：已知实二次型,求,在单位球面,上的最值.,解：二次型的矩阵为,故A的特征值为：,于是可通过正交变换可将二次型化为标准形：,注意到正交变换不改变向量的长度，所以,于是二次型,在单位球面,上的最值就是二次型,在单位球面,上的最值.,因为,即所求最大值为4，最小值为1.,将一个二次型化为标准形, 可以用正交变换法, 也可以用配方法, 或者初等变换法, 这取决于问题的要求. 如果要求找出一个正交矩阵, 或条件与度量有关，应使用正交变换法; 如果只需要找出一个可逆的线性变换, 那么各种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的步骤, 可以按部就班一步一步地求解, 但计算量通常较大. 需要注意的是, 使用不同的方法, 所得到的标准形可能不相同, 但标准形中含有的正平方项的项数和负平方项的项数必定相同, 项数等于所给二次型的秩.,五、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法,2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法,思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,