《线性代数》复习ppt课件.ppt
线性代数总复习,2011.10,第一章 矩阵,mn个数构成的m行n列的数表,加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (A) = O,数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB,(AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC,(A+B)C = AC+BC,(kA)B = k(AB).,第一章 矩阵,矩阵,转置： A=(aij), AT=(aji),方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT.,设A = aijnn为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,第一章 矩阵,矩阵,矩阵概念,矩阵运算,伴随矩阵,逆矩阵,特殊矩阵,矩阵的秩,初等变换,定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆detA0,(A1)1 = A.,(AT)1 = (A1)T.,(kA)1 = k1A1.,(AB)1 = B1A1.,运算性质,逆阵的求法:,定义法,用伴随矩阵,用初等行变换(AE) (EA-1),逆阵的证法:,A0，R(A)=n, 反证法,第一章 矩阵,矩阵,矩阵概念,矩阵运算,伴随矩阵,逆矩阵,特殊矩阵,矩阵的秩,初等变换,单位矩阵,对角矩阵,初等矩阵,对称矩阵,定义：非0子式的最高阶数,求法：初等变换或定义法,性质：经初等变换矩阵的秩不变,第一章 矩阵,矩阵,矩阵概念,矩阵运算,伴随矩阵,逆矩阵,特殊矩阵,矩阵的秩,初等变换,其它几个重要定理及结论：,矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与B等价.记为A B. （注意与相似、 合同区别）,A与B等价R(A)= R(B)定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积. 推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2. mn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。,与等价有关的重要定理,定理. 对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左 边乘以相应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以 相应的初等矩阵.,第一章 矩阵,解矩阵方程的初等变换法,或者,齐次线性方程组有非零解的充分条件,第一章 矩阵,行列式,第二章 n维向量,第二章 n维向量,n维向量,运算,线性表示,线性相关性,k11+k22+knn= 0,ki均为0，则1, 2, , n线性无关,只要有一个ki不为0，1, 2, , n 线性相关,极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个最大线性无关组。,求法：非零子式法、初等变换法,向量组与矩阵的关系,注：行向量的问题与列向量相同,第二章 n维向量,线性无关, A E, A = P1Ps,线性相关,定义：,向量内积,对称性: , = , ;,(2) 线性性: k11+k22,= k11, +k22,;,(3) , 0; 且, = 0 = 0 .,性质：,正交：,施密特(Schmidt)正交化方法,若, = 0, 则称与正交.,第二章 n维向量,正交矩阵,A为正交矩阵,ATA=E,线性方程组Ax=b,是,否,行阶梯形矩阵,第三章 线性方程组,第三章 线性方程组,1.解的判定,(1)齐次线性方程组有非零解的充要条件,定理3.1. Amn x = 0有非零解,r(A) n., A的列向量组1,2,n 线性相关,特殊, Ann x = 0有非零解|A| = 0.,(2)非齐次线性方程组有解的充要条件,定理3.4. 设ARmn, bRm, 则,(3) 当秩(A, b)=秩(A)n时, Ax = b有无穷解, 且通解中含有n秩(A) 个自由未知量.,(1) Ax = b有解,(2) 当秩(A, b)=秩(A)=n时, Ax = b有唯一解;,秩(A, b) = 秩(A);,2.解的结构,(1) 齐次线性方程组的基础解系及通解,若1, 2, , s是Ax = 0的一个基础解系, 则应该满足三条:,(2) 非齐次线性方程组解的结构及一般解。,(a)1, 2, , s是Ax = 0的解向量;,(b) 1, 2, , s是线性无关的；,(c) Ax = 0的每个解都可以由 1, 2, , s线性表示。,Ax = b的一般解为,x = +k1 1 +knr nr .,(EA) = 0基础解系法,第四章 方阵的特征值和特征向量,第四章 方阵的特征值和特征向量,特征值与特征向量,A=，0,定义法,定义法,概念,求法,性质,相似矩阵,实对称阵,特征值与特征向量,矩阵相似，则其特征值相同。,不同特征值的特征向量线性无关。,k重特征值至多有k个线性无关的特征向量。,A有n个线性无关的特征向量,P-1AP=B,An=P-1nP,第四章 方阵的特征值和特征向量,概念,求法,性质,相似矩阵,实对称阵的特性,特征值与特征向量,必可相似对角化,不同特征值的特征向量互相正交,特征值全是实数,k重特征值必有k个线性无关的特征向量,与对角阵合同,第四章 方阵的特征值和特征向量,矩阵等价、相似、合同的联系与区别,A,BMn,A与B相似,存在可逆矩阵P，使P-1AP=B,A与B合同,存在可逆矩阵C，使CTAC=B,A,BMmn,A与B等价,存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B,共同的性质：自反性、对称性、传递性,第四章 方阵的特征值和特征向量,实对称阵对角化的步骤,求A全部特征值根据（所有特征值的重根次数之和等于n）对每个ki重特征值i求方程(A- iE)x=0的基础解系得出对应于特征值i的ki个线性无关的特征向量将对应于特征值i的ki个线性无关的特征向量正交、单位化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量）将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足P-1AP=(注意顺序)。,求方阵特征值和特征向量的步骤,计算|EA|,求|EA| = 0的根,求(EA)x = 0的基础解系,第四章 方阵的特征值和特征向量,第五章 二次型,二次型,第五章 二次型,定义：含有n个变量x1, x2, , xn的二次齐次函数,矩阵表示：f = xTAxA对称，称A为f的矩阵，称f 为A的二次型，且f与A一一对应。,标准形：只含平方项,二次型的秩：R(f) = R(A),基本概念,标准型化,正定二次型,二次型,配方法,正交变化法,写出二次型矩阵A,将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q,令x=Qy，即得标准型,x 0 f(x) 0,特征值全大于0,顺序主子式全大于0,第五章 二次型,
