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高等数学课件-第六章-常微分方程(“方程”相关文档)共47张,高等数学课件-第六章-常微分方程(“方程”相关文档)共,第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的二阶微分方程,*第四节 二阶线性微分方程,第六章 常微分方程第一节 微分方程的基本概念 第二节,第一节 微分方程的基本概念,一、 引例,二、 微分方程的基本概念,第一节 微分方程的基本概念一、 引例二、 微分方程的基,如果一曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于2x，且该曲线通过点 (1,2)，求该曲线的方程,可以看出，解决此问题的方法:（1）首先建立一个含有未知函数的导数的方程，（2）然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数,解： 如果一曲线上任意一点（x,y）处的切线,微分方程的定义,表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程,例如：,本章我们只介绍常微分方程的有关知识，故后面所述的微分方程都指常微分方程,微分方程的定义1 表示未知函数、未知函数的导,一般地，一阶微分方程的一般形式为,二阶微分方程的一般形式为,n阶微分方程的一般形式为,微分方程的阶,123一般地，一阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式,微分方程的解,如果函数y=f(x)满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解求微分方程的解的过程，称为解微分方程,若微分方程的解中含有相互独立的任意常数，并且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，则这个解称为该微分方程的通解,通解中的任意常数，根据某些条件确定下来后，对应的解称为该微分方程的一个特解用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件,从几何上说，微分方程通解的图形是一族曲线，即积分曲线族，而微分方程的特解是积分曲线族的一条积分曲线,微分方程的解3定义1 如果函数y=f(x)满,第二节 一阶微分方程,一、 最简单的一阶微分方程的解法,二、 可分离变量的微分方程,三、 齐次型微分方程,四、 一阶线性微分方程,第二节 一阶微分方程一、 最简单的一阶微分方程的解法二、,最简单的一阶微分方程的解法,形如,的方程是最简单的一阶微分方程它的右端是自变量的已知函数，其解法很简单，将上式改写成微分式，即,两边积分,便得通解,（其中F(x)是f(x)的一个原函数）,最简单的一阶微分方程的解法形如的方程是最简单的一阶微分方程,可分离变量的微分方程,如果一个一阶微分方程能化成,的形式，也就是说，微分方程可化成一端只含y的函数和dy的乘积，而另一端只含x的函数和dx的乘积，那么原方程就称为可分离变量的微分方程,1,2,可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法其步骤如下：,可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能化成的形式，也就是,求方程 的通解,例1解：求方程,这是可分离变量的微分方程,求微分方程 的通解,例2解：这是可分离变量的微分方程求微分方程,齐次型微分方程,齐次型微分方程 形如 的微分,求微分方程 的通解,例3解：求微分方程,一阶线性微分方程,（2）当Q(X)0时，对应的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程,一阶线性微分方程 形如的方程称为一阶线性微分,一阶线性齐次微分方程的解法,对于这种方程，可以用分离变量法求出通解,分离变量,两边积分,故一阶线性齐次微分方程 的通解为,一阶线性齐次微分方程的解法1 对于这种方程，,一阶线性非齐次微分方程的解法,求一阶线性非齐次微分方程 的通解，可采用“常数变易法”， 即将上述一阶线性齐次微分方程通解中的常数C换成待定函数C(x)，设微分方程 的解具有形式,一阶线性非齐次微分方程的解法2 求一阶线性非,1,2,分析一阶线性非齐次微分方程 的通解结构,将其通解展开，得,12一阶线性齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程通解中C,求方程 的通解,将原方程改写成,方法一：常数变易法,例4解：求方程,方法二：公式法,接上页解：方法二：公式法因原方程为此时所以原方程的通解为,根据公式可得方程的通解为,求方程 满足初始条件 的特解,由题意可知，,将初始条件 代入通解，得C=-1,所以，所求的特解为,例5解：根据公式可得方程的通解为求方程,第三节 可降阶的二阶微分方程,一、 型,二、 型,三、 型,第三节 可降阶的二阶微分方程一、,求 的通解 ,型 微分方程,型 此类方程的特点是：方程中不显含未知函数y,解方程 ,例2解：解方程 ,型 此类方程的特点是：方程中不显含自变量x,解方程 ,例3解：解方程 原方程,代换所用代换型所用代换型,求微分方程 的通解当p2-4q0时， r1,r2是一对共轭虚根；把 代入方程 可得定理3表明：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只要求得相应的齐次线性方程的通解，再求出非齐次线性方程的一个特解即可求一阶线性非齐次微分方程 的通解，可采用“常数变易法”，如果一个一阶微分方程能化成故一阶线性齐次微分方程 的通解为如果方程 的右端 ，其中 为实数，这时方程 成为（1）首先建立一个含有未知函数的导数的方程，,*第四节 二阶线性微分方程,一、 二阶常系数齐次线性微分方程,二、 二阶常系数非齐次线性微分方程,求微分方程,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程 形如的二阶微分方程，称为二,又因曲线经过点(1,2) ，即所求曲线应满足两边积分此类方程的特点是：方程中不显含自变量x一般地，一阶微分方程的一般形式为二、 二阶常系数非齐次线性微分方程因为 ，r1是方程（1）的重根，故有 ，因此可得C=0 二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构由特征根的情况写出其通解令y=p(x) ，则y=p，将其代入原方程得原方程是 型取方程 另两个特解为也是该方程的解，其中C1,C2 是任意常数根据公式可得方程的通解为令 ，则 ，将其代入原方程，得令y=p(x) ，则y=p，将其代入原方程得也是该方程的解，其中C1,C2 是任意常数,二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构,二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 设y1,y2是二阶常系数齐次线性微分方程 的两个解，则 也是该方程的解，其中C1,C2 是任意常数,证明：,因为y1,y2是方程 的解，所以有,把 代入方程 可得,因此， 是方程 的解,又因曲线经过点(1,2) ，即所求曲线应满足二阶常系数齐次线,二阶齐次线性微分方程解的结构定理 若y1,y2是二阶齐次线性微分方程 的两个线性无关解，即 ，则方程 的通解为,定理2二阶齐次线性微分方程解的结构定理,所以原微分方程的特解为当p2-4q0时， r1,r2是不相等的两个实根；（2）然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数（其中F(x)是f(x)的一个原函数）当p2-4q0时， r1,r2是不相等的两个实根；求一阶线性非齐次微分方程 的通解，可采用“常数变易法”，因此，方程 的通解为故求y*的步骤是：首先依据条件设出y* ，然后将y*代入方程（2）确定Qm(x)中的m+1个待定系数因=1不是特征方程的单根，故设方程的特解为此类方程的特点是：方程中不显含自变量x当p2-4q=0时， r1,r2是相等的两个实根；比较两边 的同次幂系数，得当p2-4q0时， r1,r2是一对共轭虚根；，只换未知函数，不换自变量，故有求微分方程 的通解,二阶常系数齐次线性微分方程的解法,我们称方程（1）是微分方程 的特征方程，它的根r1,r2称为微分方程的特征根,所以原微分方程的特解为2二阶常系数齐次线性微分方程的解法猜想,由于特征方程（1）是一元二次方程，它的根为 ，所以特征根 就有3种不同的情况，分别讨论如下,由于特征方程（1）是一元二次方程，它的根为,若r1,r2是不相等的两个实根，则方程 的两个特解是,且,因此，方程 的通解为,1当p2-4q0时， r1,r2是不相等的两个实根；,（1）若r1,r2是相等的两个实根，则 ，得到方程 的一个特解为 ,2当p2-4q=0时， r1,r2是相等的两个实根；,3当p2-4q0时， r1,r2是一对共轭虚根；,步骤1,步骤2,步骤3,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：,步骤1步骤2步骤3综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程通解,该方程的特征方程为,解出特征根为,求微分方程 的通解,因为 ，故所求方程的通解为,例1解：该方程的特征方程为解出特征根为求微分方程,求微分方程 满足初始条件 的一个特解 ,所给方程的特征方程为 ，特征根为r1=r2=1，所以，该微分方程的通解为,将 代入得C1=1；对上式求导有,将 代入得C2=2；,所以原微分方程的特解为,例2解：求微分方程,求微分方程 的通解,所给方程的特征方程为 特征根 ，因 ，故所给微分方程的通解是,例3解：求微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构,若y*是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解，Y是其对应的齐次方程 的通解，则,就是方程 的通解,定理3表明：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只要求得相应的齐次线性方程的通解，再求出非齐次线性方程的一个特解即可,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构1定理3,二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,我们假设 是方程（2）的特解，其中， Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，其各项系数待定；k的取值如下：,待定系数法:故求y*的步骤是：首先依据条件设出y* ，然后将y*代入方程（2）确定Qm(x)中的m+1个待定系数,二阶常系数非齐次线性微分方程的解法21,求微分方程 的一个特解 ,例4解：求微分方程,求微分方程 的一个特解 ,因此，该方程的特解为,例5解：求微分方程,可以证明，方程（3）的特解为,如果方程 的右端 ，其中 为实数，这时方程 成为,（3）,其中，a和b是待定常数，k是整数，其取值如下：,2,求微分方程 的通解 ,所以，原方程的通解为,例6解：求微分方程,感谢聆听,感谢聆听,