数值分析报告第五版全问题详解chap4.doc

word 第四章 数值积分与数值微分1.确定如下求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进展验证性求解。1假如令，如此令，如此令，如此从而解得令，如此故成立。令，如此故此时，故具有3次代数精度。2假如令，如此令，如此令，如此从而解得令，如此故成立。令，如此故此时，因此，具有3次代数精度。3假如令，如此令，如此令，如此从而解得或令，如此故不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。4假如令，如此令，如此令，如此故有令，如此令，如此故此时，因此，具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算如下积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为3。直接验证柯特斯教材公式2。4具有5交代数精度。证明：柯特斯公式为令，如此令，如此令，如此令，如此令，如此令，如此令，如此因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。4。用辛普森公式求积分并估计误差。解：辛普森公式为此时，从而有误差为5。推导如下三种矩形求积公式：证明：两边同时在上积分，得即两边同时在上积分，得即两连边同时在上积分，得即6。假如用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？假如改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为又故假如，如此当对区间进展等分时，故有因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为又假如，如此当对区间进展等分时故有因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为又且又即计算值比准确值大。其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。8。用龙贝格求积方法计算如下积分，使误差不超过.解：0123因此01因此012345因此9。用的高斯-勒让德公式计算积分解：令，如此用的高斯勒让德公式计算积分用的高斯勒让德公式计算积分10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心椭圆中心的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371km为地球半径，如此我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km。试求卫星轨道的周长。解：从而有。012即人造卫星轨道的周长为48708km11。证明等式试依据的值，用外推算法求的近似值。解 假如又此函数的泰勒展式为当时,当时,当时,由外推法可得n369故12。用如下方法计算积分，并比拟结果。(1)龙贝格方法；(2)三点与五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解(1)采用龙贝格方法可得k01234故有(2)采用高斯公式时此时令如此利用三点高斯公式，如此利用五点高斯公式，如此(3)采用复化两点高斯公式将区间四等分，得作变换，如此作变换，如此作变换，如此作变换，如此因此，有在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：xF(x)解：由带余项的三点求导公式可知又又又故误差分别为利用数值积分求导，设由梯形求积公式得从而有故又且从而有故即解方程组可得16 / 16