导数应用含参函数的单调性讨论教师版.doc
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法：讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1 讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为 (它与同号)I当时，恒成立，此时在和都是单调增函数，即的增区间是和;II) 当时 此时在和都是单调增函数，在和都是单调减函数，即的增区间为和;的减区间为和.步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数化为乘除分解式，便于讨论正负， 3、先讨论只有一种单调区间的导函数同号的情况，4、再讨论有增有减的情况导函数有正有负，以其零点分界，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1 : 讨论的单调性，求其单调区间 解：的定义域为 (它与同号)I当时，恒成立，此时在为单调增函数，即的增区间为，不存在减区间;II) 当时 ; 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.例2讨论的单调性 解：的定义域为 (它与同号)I） 当时，恒成立 此时没有意义 此时在为单调增函数，即的增区间为II） 当时，恒成立，此时不在定义域，没有意义此时在为单调增函数，即的增区间为III) 当时, 令于是，当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x0增减所以， 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间的符号。一般先讨论无解情况，再讨论解过程产生增根的情况即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的，即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间最好结合导函数的图象确定相应单调性。变式练习2. 讨论的单调性 解：的定义域为 , 它与同号. 令，当时，无解；当时,(另一根不在定义域舍去)i)当时，恒成立 此时没有意义 此时在为单调增函数，即的增区间为ii)当时，恒成立，(此时 方程判别式,方程无解)此时在为单调增函数，即的增区间为iii) 当时,当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号) x0增减所以， 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数如讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)假设a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)存在单调递减区间，数a的取值围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a>0)，当x(，0)时，f(x)>0；当x(0，a)时，f(x)<0；当x(a，)时，f(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2<0成立，即x(2，1)时，a<(x)max2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值围是(，2)引申探究：在本例3(3)中，1假设g(x)在(2，1)为减函数，如何求解？解方法一g(x)x2ax2，且g(x)在(2，1)为减函数，g(x)0，即x2ax20在(2，1)恒成立，即解之得a3，即实数a的取值围为(，3方法二g(x)x2ax2，由题意可得g(x)0在(2，1)上恒成立，即ax在(2，1)上恒成立，又yx，x(2，1)的值域为(3，2 ，a3，实数a的取值围是(，32假设g(x)的单调减区间为(2，1)，求a的值解g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21是g(x)0的两个根，(2)(1)a，即a3.3假设g(x)在(2，1)上不单调，求a的取值围解由引申探究1知g(x)在(2，1)上为减函数，a的围是(，3，假设g(x)在(2，1)上为增函数，可知ax在(2，1)上恒成立，又yx的值域为(3，2 ，a的围是2，)，函数g(x)在(2，1)上单调时，a的取值围是(，32，)，故g(x)在(2，1)上不单调，实数a的取值围是(3，2)思维升华函数单调性，求参数围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，那么区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即"假设函数单调递增，那么f(x)0；假设函数单调递减，那么f(x)0来求解函数f(x)exln xaex(aR)(1)假设f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)假设f(x)在(0，)上是单调函数，数a的取值围解(1)f(x)exln xex·aex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e·1，得a2.(2)由(1)知f(x)(aln x)ex，假设f(x)为单调递减函数，那么f(x)0，在x>0时恒成立即aln x0，在x>0时恒成立所以aln x，在x>0时恒成立令g(x)ln x(x>0)，那么g(x)(x>0)，由g(x)>0，得x>1；由g(x)<0，得0<x<1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(x)1，但g(x)无最大值(且无趋近值)故f(x)不可能是单调递减函数假设f(x)为单调递增函数，那么f(x)0，在x>0时恒成立，即aln x0，在x>0时恒成立，所以aln x，在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值围是(，1三、稳固作业：1. 函数，求的单调区间.解：2.函数f(x)=xax+(a1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。解：的定义域为.(1)(2)假设即时，>0, 故在单调递增.假设0<,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.假设,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.综上所述，当，单调增区为,减区间是; 当时，的减区间是，增区间是； 当时，在定义域上递增，单调增区为不存在减区间; 当时，的减区间是，在增区间是.15函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)假设函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2·f(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，当a>0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a<0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3(2)x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)<0，即3t2(m4)t2<0对任意t1,2恒成立，由于g(0)<0，故只要g(1)<0且g(2)<0，即m<5且m<9，即m<9；由g(3)>0，即m>.所以<m<9.即实数m的取值围是(，9)
