Matlab_PDE工具箱有限元法求解偏微分方程.doc

在科学技术各领域中,有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。 偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成的数学模型,只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。偏微分方程基本形式而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱PDE工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路,包括如下基本步骤：1> 建立几何模型2> 定义边界条件3> 定义PDE类型和PDE系数4> 三角形网格划分5> 有限元求解6> 解的图形表达以上步骤充分体现在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上,如下具体实现如下。打开工具箱输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱,如下首先需要选择应用模式,工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式,用户可以基于适当的模式进行建模和分析。在Options菜单的Application菜单项下可以做选择,如下或者直接在工具栏上选择,如下列表框中各应用模式的意义为： Generic Scalar：一般标量模式为默认选项。 Generic System：一般系统模式。 Structural Mech.,Plane Stress：结构力学平面应力。 Structural Mech.,Plane Strain：结构力学平面应变。 Electrostatics：静电学。 Magnetostatics：电磁学。 Ac Power Electromagnetics：交流电电磁学。 Conductive Media DC：直流导电介质。 Heat Tranfer：热传导。 Diffusion：扩散。可以根据自己的具体问题做相应的选择,这里要求解偏微分方程,故使用默认值。此外,对于其他具体的工程应用模式,此工具箱已经发展到了Comsol Multiphysics软件,它提供了更强大的建模、求解功能。另外,可以在菜单Options下做一些全局的设置,如下l Grid：显示网格l Grid Spacing：控制网格的显示位置l Snap：建模时捕捉网格节点,建模时可以打开l Axes Limits：设置坐标系范围l Axes Equal：同Matlab的命令axes equal命令建立几何模型使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立,如下各项代表的意义分别为l 绘制矩形或方形；l 绘制同心矩形或方形；l 绘制椭圆或圆；l 绘制同心椭圆或圆；l 绘制多义线。这里只绘制一个圆如下定义边界条件选择Boundary菜单下的Specify Boundary Conditions,如下定义PDE类型和PDE系数选择PDE菜单下的PDE Specifications,如下三角形网格划分选择Mesh菜单下的Initialize Mesh初始化三角形网格,再选择Refine Mesh改进初始网格并细化网格,如下初始化网格细化网格另外还可以进一步选择Jiggle Mesh微调网格。最后可以选择Display Triangle Quality显示三角形网格的质量图,其中1表示质量最好,0表示最差,如下有限元求解选择Solve菜单下的Solve PDE选项进行PDE问题的求解,如下解的图形表达选择Plot菜单下的Parameters可以设置显示的效果,如下显示结果如下比较数值解与精确解的误差：可见数值解的精度是很高的。