不等式的性质与一元二次不等式.docx

不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0)2、不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN)可开方性a>b>0>(nN)a，b同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：a>b，ab>0<；a<0<b<；a>b>0,0<c<d>.；0<a<*<b或a<*<b<0<<(2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则，<；>(bm>0)；>；<(bm>0)4、“三个二次”的关系判别式b24ac>00<0ya*2b*c(a>0)的图像a*2b*c0(a>0)的根有两相异实根*1，*2(*1<*2)有两相等实根*1*2没有实数根a*2b*c>0(a>0)的解集*|*<*1或*>*2*|*|*Ra*2b*c<0(a>0)的解集*|*1<*<*25、常用结论(*a)(*b)>0或(*a)(*b)<0型不等式的解法不等式解集a<baba>b(*a)·(*b)>0*|*<a或*>b*|*a*|*<b或*>a(*a)·(*b)<0*|a<*<b*|b<*<a口诀：大于取两边，小于取中间选择题：设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A.>B.>C|a|>bD.>解析由题设得a<ab<0，有<成立，即>不成立若a，b，c，则()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<c解析易知a，b，c都是正数，log8164<1，a>b；log6251024>1，b>c，即c<b<a若a，bR，若a|b|<0，则下列不等式中正确的是()Aab>0Ba3b3>0Ca2b2<0Dab<0解析由a|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b0时，ab<0成立，当b<0时，ab<0成立，ab<0成立下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()Aa>b1Ba>b1Ca2>b2Da3>b3解析由a>b1，得a>b1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b1，使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b1.已知0<a<，且M，N，则M，N的大小关系是()AM>NBM<NCMND不能确定解析0<a<，1a>0,1b>0,1ab>0，MN>0已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acb>aBa>cbCc>b>aDa>c>b解析cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1(a)2>0，b>a，cb>a.设a>2，A，B，则A，B的大小关系是()AA>BBA<BCABDAB解析A22a12，B22a，显然A2>B2已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AM<NBM>NCMND不确定解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0，(a11)(a21)>0，即MN>0，M>N.已知*R，m(*1)(*21)，n(*)(*2*1)，则m，n的大小关系为()AmnBm>nCmnDm<n解析m(*1)(*21)(*1)(*2*1)(*1)(*2*1)(*1)，n(*)(*2*1)(*1)(*2*1)(*1)(*2*1)(*2*1)，mn(*1)(*21)(*)(*2*1)(*2*1)*(*1)>0.则有*R时，m>n恒成立已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列选项中一定成立的是()Aab>acBc(ba)<0Ccb2<ab2Dac(ac)>0解析由c<b<a且ac<0知c<0且a>0，由b>c得ab>ac一定成立设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()ABCD解析由不等式性质及a>b>1知<，又c<0，>，正确；构造函数y*c，c<0，y*c在(0，)上是减函数，又a>b>1，ac<bc，知正确；a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，知正确设a，bR，则“(ab)·a2<0”是“a<b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由(ab)·a2<0a0且a<b，充分性成立；由a<bab<0，当0a<b时/(ab)·a2<0，必要性不成立设(0，)，0，则2的取值*围是()A(0，) B(，)C(0，) D(，)解析由题设得0<2<，0，0，<2<.若集合A*|32*2>0，集合B*|2*<2，则AB等于()A(1,3) B(，1)C(1,1) D(3,1)解析依题意，可求得A(1,3)，B(，1)，AB(1,1)已知集合P*|*2*20，Q*|log2(*1)1，则(RP)Q等于()A2,3B(，13，)C(2,3 D(，1(3，)解析依题意，得P*|1*2，Q*|1<*3，则(RP)Q(2,3已知不等式a*2b*10的解集是，则不等式*2b*a<0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C.D.解析由题意知，是方程a*2b*10的根，所以由根与系数的关系得，×，解得a6，b5，不等式*2b*a<0即为*25*6<0，解集为(2,3)若一元二次不等式2k*2k*<0对一切实数*都成立，则k的取值*围为()A(3,0 B3,0)C3,0D(3,0)解析2k*2k*<0对一切实数*都成立，则必有解之得3<k<0.设a为常数，任意*R，a*2a*1>0，则a的取值*围是()A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)解析任意*R，a*2a*1>0，则必有或a0，0a<4.若f(*)3*2*1，g(*)2*2*1，则f(*)，g(*)的大小关系是()Af(*)g(*) Bf(*)g(*)Cf(*)g(*) D随*的值变化而变化解析f(*)g(*)*22*2(*1)210f(*)g(*)已知函数f(*)则不等式f(*)3的解集为_解析由题意知或解得*1.故原不等式的解集为*|*1设函数f(*)则不等式f(*)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由题意得或解得3<*<1或*>3.已知函数f(*)则不等式f(*)*2的解集为()A1,1B2,2C2,1D1,2解析作出函数yf(*)和函数y*2的图像，如图，由图知f(*)*2的解集为1,1若集合A*|a*2a*1<0，则实数a的取值*围是()Aa|0<a<4Ba|0a<4Ca|0<a4Da|0a4解析由题意知a0时，满足条件，a0时，由得0<a4，0a4已知不等式*22*3<0的解集为A，不等式*2*6<0的解集是B，不等式*2a*b<0的解集是AB，则ab等于()A3B1C1D3解析由题意，得A*|1<*<3，B*|3<*<2，AB*|1<*<2，则不等式*2a*b<0的解集为*|1<*<2由根与系数的关系可知，a1，b2，ab3若不等式2*22a*a1有唯一解，则a的值为()A.B.C.D.解析若不等式2*22a*a1有唯一解，则*22a*a1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a，所以选D.若不等式*22*5a23a对任意实数*恒成立，则实数a的取值*围为()A1,4B(，25，)C(，14，) D2,5解析*22*5(*1)24的最小值为4，所以*22*5a23a对任意实数*恒成立，只需a23a4，解得1a4填空题：设a>0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系是_解析由题意可知a>1.(a31)(a21)a2(a1)>0，a31>a21，loga(a31)>loga(a21)，即P>Q.设a>b>c>0，*，y，z，则*，y，z的大小关系是_解析令a3，b2，c1，则*，y，z，故z>y>*.设f(*)a*2b*，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值*围是_解析由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.若关于*的不等式m(*1)>*2*的解集为*|1<*<2，则实数m的值为_解析因为m(*1)>*2*的解集为*|1<*<21，2一定是m(*1)*2*的解，m2.若关于*的方程*2a*a210有一正根和一负根，则a的取值*围为_解析由题意可知，>0且*1*2a21<0，故1<a<1对任意的k1,1，函数f(*)*2(k4)*42k的值恒大于零，则*的取值*围是_解析*2(k4)*42k>0恒成立，即g(k)(*2)k(*24*4)>0，在k1,1时恒成立只需g(1)>0且g(1)>0，即解之得*<1或*>3.已知函数f(*)*2m*1，若对于任意*m，m1，都有f(*)<0成立，则实数m的取值*围是_解析作出二次函数f(*)的草图，对于任意*m，m1，都有f(*)<0，则有即解得<m<0.已知函数f(*)，若对任意*1，)，f(*)>0恒成立，则实数a的取值*围是_解析*1，)时，f(*)>0恒成立，即*22*a>0恒成立即当*1时，a>(*22*)g(*)恒成立而g(*)(*22*)(*1)21在1，)上单调递减，g(*)ma*g(1)3，故a>3，实数a的取值*围是a|a>3若0<a<1，则不等式(a*)(*)>0的解集是_解析原不等式即(*a)(*)<0，由0<a<1得a<，a<*<.已知关于*的不等式<0的解集是，则实数a_.解析<0(*1)(a*1)<0，依题意，得a<0，且.a2.设f(*)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)，则实数a的取值*围是_解析f(*3)f(*)，f(2)f(13)f(1)f(1)<1.<1<0(3a2)(a1)<0，1<a<.若不等式*2a*20在区间1,5上有解，则实数a的取值*围是_解析设f(*)*2a*2，由题知：a280，所以方程*2a*20恒有一正一负两根，于是不等式*2a*20在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，即a.若关于*的不等式a*b的解集为，则关于*的不等式a*2b*a0的解集为_解析由已知a*b的解集为，可知a0，且，将不等式a*2b*a0两边同除以a，得*2*0，即*2*0，解得1*，故不等式a*2b*a0的解集为.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值*围为_解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，(8)(4)0，解得84.解答题：设函数f(*)m*2m*1.若对于*1,3，f(*)<m5恒成立，求m的取值*围解*2*12>0，又m(*2*1)6<0，m<.函数y在1,3上的最小值为，只需m<即可，m的取值*围是.设二次函数f(*)a*2b*c，函数F(*)f(*)*的两个零点为m，n(m<n)(1)若m1，n2，求不等式F(*)>0的解集；(2)若a>0，且0<*<m<n<，比较f(*)与m的大小解(1)由题意知，F(*)f(*)*a(*m)(*n)当m1，n2时，不等式F(*)>0，即a(*1)(*2)>0.当a>0时，不等式F(*)>0的解集为*|*<1或*>2；当a<0时，不等式F(*)>0的解集为*|1<*<2(2)f(*)mF(*)*ma(*m)(*n)*m(*m)(a*an1)，a>0，且0<*<m<n<，*m<0,1ana*>0，f(*)m<0，即f(*)<m.已知f(*)3*2a(6a)*6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(*)b的解集为(1,3)，*数a，b的值解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32，不等式的解集为a|32a32(2)f(*)b的解集为(1,3)，方程3*2a(6a)*6b0的两根为1,3，解得，即a的值为3±，b的值为3.专项能力提升若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()Aa>bB.>Ca>bD.>解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(*)*是(0，)上的增函数，但函数g(*)*在(0,1上递减，在1，)上递增，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a>ba>b，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.设a>0，不等式c<a*b<c的解集是*|2<*<1，则abc等于()A123B213C312D321解析c<a*b<c，又a>0，<*<.不等式的解集为*|2<*<1，abca213.已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定成立的是()A.<B.>0C.<D.<0解析c<b<a且ac<0，c<0，a>0，<，>0，<0，但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立已知函数f(*)a*2b*c(a0)，若不等式f(*)<0的解集为，则f(e*)>0(e是自然对数的底数)的解集是()A*|*<ln 2或*>ln 3B*|ln 2<*<ln 3C*|*<ln 3D*|ln 2<*<ln 3解析法一依题意可得f(*)a(*3)(a<0)，则f(e*)a(e*3)(a<0)，由f(e*)a(e*3)>0，可得<e*<3，解得ln 2<*<ln 3，故选D.已知函数f(*)(a*1)(*b)，如果不等式f(*)>0的解集是(1,3)，则不等式f(2*)<0的解集是()A(，)(，)B(，)C(，)(，)D(，)解析f(*)0的两个解是*11，*23且a<0，由f(2*)<0得2*>3或2*<1，*<或*>.若关于*的不等式*22a*8a2<0(a>0)的解集为(*1，*2)，且*2*115，则a等于()A.B.C.D.解析由*22a*8a2<0，得(*2a)(*4a)<0，a>0，不等式的解集为(2a,4a)，即*24a，*12a，由*2*115，得4a(2a)15，解得a.已知函数f(*)*2a*b2b1(aR，bR)，对任意实数*都有f(1*)f(1*)成立，当*1,1时，f(*)>0恒成立，则b的取值*围是()A1<b<0Bb>2Cb<1或b>2D不能确定解析由f(1*)f(1*)知f(*)图像的对称轴为直线*1，则有1，故a2，由f(*)的图像可知f(*)在1,1上为增函数*1,1时，f(*)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b2>0，解得b<1或b>2.设函数f(*)*21，对任意*，)，f()4m2·f(*)f(*1)4f(m)恒成立，则实数m的取值*围是_解析依据题意得14m2(*21)(*1)214(m21)在*，)上恒成立，即4m21在*，)上恒成立当*时，函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.已知函数f(*)*2a*b(a，bR)的值域为0，)，若关于*的不等式f(*)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析由题意知f(*)*2a*b2b.f(*)的值域为0，)，b0，即b，f(*)2.又f(*)<c，2<c，即<*<，得26，c9.