韦达定理.doc
韦达定理【学习目标】 1、经历探索一元二次方程的根与系数关系的过程，进一步理解并掌握一元二次方程根与系数的关系；2、会根据条件和根与系数的关系式，不解方程确定相关的方程和未知的系数值；3、会计算一元二次方程两个根的倒数、平方和以与其它有关代数式的值。【学习要点】不解方程确定相关的方程和未知的系数值。一、学习准备：1、：一元二次方程x22x3 =0的两根为x1、x2，如此x1=_，x2=_；x1+x2=_， x1x2=_ 。2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的两个根为：x1= _； x2= _； x1+x2= _ ； x1x2= _。由上可知一元二次方程的根与系数有如下关系：又称韦达定理如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根是x1, x2，那么X1+x2=, x1x2= ,必要条件二、典例示X：3、 方程的一个根，求另一个根与未知系数例1 方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根与k的值。法一：设另一根为x1，由韦达定理可建立关于x1和k的方程组，解之即得。解：设方程的另一个根是，由韦达定理得：答：方程的另一个根是_，K的值是_法二：把x=2代入原方程，先求出k的值，再求另一个根，试一试吧! 比拟一下答案一样吗？即时练习1：1方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根与m的值。2如果2+是方程x2-4x+C=0的一个根，求它的另一个根与C的值。4、整体代换，求与x1、x2有关的代数式的值例2 方程2x2+3x-1=0的两根为x1、x2，不解方程，求如下各式的值：韦达定理涉与x1+x2 ，x1x2 ，求值又为x12+x22；(x1+2)(x2+2) ，均为一元对称式，变形式均涉与完全平方公式。1x12+x22 (2) (3) (x1+2)(x2+2) 解：由韦达定理得： 1x1+x22=x12+2x1x2+x22x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=_=_ (2) =_=_ (3) (x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=_=_即时练习2：设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，求如下各式的值：1x12x2+x1x22 (2) (x1-x2)2 (3) (x1+)(x2+) (4) 5、两根，求方程或两数之和与积，求这两个数如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么：x1+x2= p x1x2=q即：p=(x1+x2) q=x1x2如此方程x2+px+q=0就是：x2(x1+x2)+x1x2=0小结：以两个数x1、x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)+x1x2=0例3 1求一个一元二次方程，使它的两个根是3 ，2 2两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。 解：1所求的方程是： x23+2x+3×2=0 化简，得：_,即：_ (2) 根据韦达定理得，所求的两数是方程：x28x+9=0 的两个根。 解这个方程，得：X1=_, X2=_所求的两个数是_和_即时练习3：1求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4和72两个数的和等于6，积等于2，求这两个数。3：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。【达标检测】1、假如关于x的方程x2x+c=0的一个根为，如此c的值为_。2、假如关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，如此b=_,c=_3、阅读材料：设一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的两个根是x1, x2，如此两根与方程之间有如下关系: X1+x2= x1x2=根据材料填空：x1, x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，如此：的值为_4、x1、x2是方程2x22x+13m=0的两个实数根，且x1x2+2(x1+x2)0 ，那么实数m的取值X围是_5、假如关于x的方程2x22x+3 m 1=0有两个实数根x1、x2，且x1x2x1+x24,如此实数m的取值X围是 A mB m C m D m6、设x1、x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1 x2+1是关于x的方程x2+px+q=0的两根，如此p、q的值分别等于 A B C 5 D 27、关于x的方程kx22(k+1)x+k1=0有两个不相等的实数根 1求k的取值X围。 2是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？假如存在，求出k的值；假如不存在，说明理由。根的判别式和韦达定理的综合【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习要点】1、一元二次方程根与系数的符号关系；2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值一、学习准备1、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式=_0 _；=0 _；0 _ ；0 。2、韦达定理如果ax2+bx+c=0 (a0)的两个根分别为x1和x2，必要条件那么x1+x2=_, x1x2=_ 二、典例示X3、根的分布1有两个正根;2有两个负根 ;(3) 有一正根一负根;4两根互为倒数 ;5两根互为相反数.例1、：k为何值时，方程3x22(3k+1)x+3k21=0 1有一根为0；2有两个互为相反数的实数根； 3两根互为倒数。即时练习1：1、 K为何值时，方程4x2(k1)x+k7=0 的两个根具有如下关系：1两根互为相反数2两根互为倒数3有一根为02、方程的两根为，求如下代数式的值： 1；2；33、x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值例2、方程x2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k的值。解：由题意得：_,_当K1=_时，_;当K2=_时，_， 故K的值为_即时练习2：1、方程x2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8，求k的值。2、假如方程2x2-mx-4=0的两个实数根x1,x2满足+=2，求m的值。3、是关于x的一元二次方程的两个实数根。 1用含m的代数式表示；2当时，求m的值。例3、关于x的方程x2-(2k-3)+k2+1=0的两个实数根x1、x2满足：,求k的值。解：原方程有两个实数根，如此0 即-(2k-3)2-4(k2+1)0 解之得：k_ 又x1x2=k2+1>0,x1与x2同号；由：可得：x1+x2=±3 即 2k-3=±3 ,解之得:k1=_,k2=_ 由可得：K=_即时练习3：1、假如n0，关于x的方程x2-m-2nx+mn=0有两个相等的正实数根，求的值。2、关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式值为1，求方程的根四、反思小结：学习和使用韦达定理时，要注意定理的前提条件：是在一元二次方程条件下，即注意二次项系数；是在有实数根的条件下，即0；两个条件缺一不可。【达标检测】 1. 是关于x的一元二次方程的一个根，如此k与另一根分别为 A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-22. 方程的两根互为相反数，如此m的值是 A. 4 B. -4 C. 1 D. -13. 假如方程有两负根，如此k的取值X围是 A. B. C. D. 4. 假如方程的两根中，只有一个是0，那么 A. B. C. D. 不能确定 5. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，如此m_。6、关于x的一元二次方程x2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，如此a可取的值为_(只要填写一个可能的值即可)7、假如、是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，如此2+3+的值为_8、在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，求ABC的周长。9、方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。10、关于x的方程x2+22-mx+3-6m=0 (1) 求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。2如果方程的两实数根分别为x1、x2，满足x1=3x2，某某数m的值。11、关于x的方程k2x2+2k-1x+1=0 的有两个不相等的实数根x1、x2，1求k的取值X围；2是否存在实数k，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。12、关于x的方程x22(k+1)x+k2+2k-1=0求证：对于任意实数k方程总有两个不相等的实数根；如果a是关于y y2-( x1+x2-2k)y+( x1-k)( x2-k)=0的根，其中x1,x2为方程的两个实数根，求代数式的值。13、当m为何值时,关于x的方程无实根?14、假如关于x的方程只有一个解,试求k 的值与方程的解.
