金融时间序列分析报告报告材料第三次作业.doc
word模型为AR(1)-GARCH(1,1)，假定t服从自由度为v的标准化的t分布，导出数据的条件对数似然函数。数据为r=r1, r2, rn模型为rt=u+1rt-1+atat=ttt2=0+1at-12+1t-12由于t服从自由度为v的标准化的t分布，所以有t的概率密度函数为f(t)=v+12v2v-21+t2v-2-(v+1)/2其中(x)为Gamma函数x=0infyx-1e-ydy由于at=tt，at的条件似然函数为f(am+1,at)=t=m+1Tv+12v2v-21t1+t2(v-2)t2-(v+1)/2所以对数条件似然函数为L=Tln(v+12)-ln(v2)-12ln(v-2)n- 12t=1Tln(t2)+(1+v)ln(1+ at2(v-2)t2)带入实际的数据T=t，at=rt-u-1rt-1，同时又有t2=0+1at-12+1t-12，所以有了第一个1后就可以递推出其余的t。对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型，并进展向前1到5步的波动率预测。数据的图形如下：同时ACF和PACF如下：可知模型的根本形式应该为MA(1)。尝试对残差建立ARMA(0,1)Garch(1,1)模型，结果为*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)检验残差的ACF发现模型可以满足要求。所以最终拟合的Garch模型为(1-0.027009*B)yt=0.025807+tt=ut*hthtN(0,n2)ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646*t-12下面是向前1到5步的预测结果*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 10Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series其中372就是03年12月的数据如下图是预测结果趋势图(a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。观察对数收益率的ACF图形可以发现明显的一阶相关性。取12阶滞后的Ljung&Box检验的结果如下 Box-Ljung testdata: mrk 发现有显著的自相关性。尝试对序列建立ARMA(1,0)模型arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0)Coefficients: ar1 intercept残差mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt没有序列相关。(b)利用Ljung&Box统计量，在6以与12个间隔下验证序列的ARCH效应。令arch=mrk$residuals2，进展Ljung&Box检验间隔为6： Box-Ljung testdata: arch 间隔为12： Box-Ljung testdata: arch 在5%的显著性水平下无论是6还是12的间隔都是有显著的ARCH效应。(c)对数据识别一个ARCH模型，然后拟合*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,0)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)模型形式为：(1+0.080221*B)mrkt=0.012269+tt=ut*hthtN(0,n2)ut2=0.004433+0.066349*at-12下面是拟合的残差图以与置信区间，发现拟合是有效的。(a)利用Ljung&Box统计量，在6以与12个间隔下验证对数收益率的ARCH效应。为了检验3m数据的ARCH效应，将Ljung&Box应用于mmm2序列6个间隔： Box-Ljung testdata: mmm2 12个间隔 Box-Ljung testdata: mmm2 无论是6或者12个间隔，都是在5%的水平下有显著的ARCH效应的。(b)用收益率平方的PACF识别一个ARCH模型并拟合。PACF图形为序列平方项有2阶的偏自相关，所拟合的应该是一个ARCH(2)模型。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model : ARFIMA(0,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)模型为：yt=0.012084+tt=ut*hthtN(0,n2)ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261* at-22(c)利用前690个数据重新拟合，并对691到695的数据进展预测*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model : ARFIMA(0,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)yt=0.011836+tt=ut*hthtN(0,n2)ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137802* at-22预测结果为*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 10Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series下面是预测图：(d)对3M股票的对数收益率建立ARCH-M模型，并在5%的水平下检验风险溢价为0的假设。考虑到数据的PACF图形中有2阶的回归，建立ARCH(2)-M的模型：rt=u+c*t2+atat=ttt2=0+1at-12+1t-12拟合结果为：*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model : ARFIMA(0,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)rt=-t2+atat=ttt2=+at-12+ at-22下面是拟合结果的检验图：可知拟合是有效的。同时关注系数archm的t值，可以发现对应的P值大于5%，所以系数是显著的，也就是说风险溢价为0的假设不成立。(e)利用前690个数据建立一个EGARCH模型，并进展向前1到5步的预测。由于数据的一阶自相关性，对数据建立AR(1)EGARCH(1,1)的模型。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : eGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)所以模型为：rt=-0.064397*rt-1+atat=ttln(t2)=0+ 11+0.018260*B*g(t-1)g(t)= 0.831434*t +0.198772*|t |-E(|t |)预测结果为：*-* GARCH Model Forecast *-*Model: eGARCHHorizon: 10Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series走势图为：(a)建立一个带高斯新息的GARCH模型并检验首先检查数据GM的ACF和PACF图形GM数据的均值模型为MA(1)。对建立的MA(1)模型的残差平方再次检验其ACF和PACF发现适宜的模型为ARMA(0,1)GARCH(3,1)，对此进展拟合：*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(3,1)Mean Model : ARFIMA(0,0,1)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)rt=+ at+0.063162* at-1at=ttt2=+0.084301*at-12 +t-12其中alpha2和alpha3的系数为不显著的拟合结果的图形为：拟合为有效的。(b)建立一个带高斯新息的GARCH-M模型并检验根据上面检测的结论，所建立的GARCH-M模型形式为ARMA(0,1)GARCH(1,1)-M*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(0,0,1)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)所以拟合的模型为：rt=+*t2+at +0.061927*at-1at=ttt2=+at-12+t-12(c)建立一个带学生t新息的GARCH模型，估计自由度v并写出拟合的模型。在5%的水平下检验假设H0：v=6。对GM数据建立MA(1)GARCH(1,1)模型，同时将残差序列设为student分布。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(0,0,1)Distribution : std Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)模型形式为rt=+ at+0.052045* at-1at=ttt2=+0.066805*at-12 +t-12同时可以看到，自由度的预估值为9.1，均方误差为2.988367，显著不为6。(d)对GM数据建立EGARCH模型。对GM数据建立ARMA(0,1)EGARCH(1,1)模型。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : eGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(0,0,1)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)rt=+at-0.081075* at -1at=ttln(t2)=+ 11+0.031275*B*g(t-1)g(t)= 0.969952*t +0.181106*|t |-E(|t |)(e)对所有的模型进展向前1到6步的预测，并进展比拟。这是EGARCH的预测结果：*-* GARCH Model Forecast *-*Model: eGARCHHorizon: 6Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series这是GARCH的预测结果：*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 6Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series这是残差服从t分布的GARCH的预测结果：*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 5Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series比照如下：sigmaseriesGARCHGARCHtEGARCHGARCHGARCHtEGARCH649650651652653654GARCH和GARCHt在方差上的预测相近，但是均值预测不同，反而是EGARCH在均值预测上与GARCH更加接近。由于采用的是MA模型，均值预测在第二步就一样了。3.9为GM数据建立TGARCH模型，并就杠杆效应进展显著性检验。给出向前1到6步的预测。拟合的模型为ARMA(0,1)TGARCH(1,1)*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : gjrGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(0,0,1)Distribution : norm Optimal Parameters- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)rt=+ at+0.079690* at-1at=ttt2=+(0.066596+0.043701*Nt-1)at-12 +t-12Nt-1=1,at-1<00,at-10假定t=2或者-2，如此其中杠杆效应为0.066596+0.043701*4+0.8813150.066596*4+0.881315由于alpha1，beta1，gamma1的系数为显著的，所以杠杆效应在5%的水平下也是显著的。预测结果为*-* GARCH Model Forecast *-*Model: gjrGARCHHorizon: 6Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series28 / 28
