直线地全参数方程及其指导应用举例.doc

word直线的参数方程与应用yh0hP0hP()Q问题1：直线由点和方向确定 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程. 设点P()是直线上任意一点，规定向上的方向为直线L的正方向过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. 1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P|P0P| 如此P0QP0Pcos Q PP0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立设P0Pt，t为参数，又P0Q， tcos Q P=t sin 即是所求的直线的参数方程P0Pt，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从点P0()到点 P()的有向线段的数量，且|P0P|t| 当t>0时，点P在点P0的上方； 当t0时，点P与点P0重合； 当t<0时，点P在点P0的下方；yh0hP0hP()特别地，假设直线的倾斜角0时，直线的参数方程为 当t>0时，点P在点P0的右侧； 当t0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h 当t<0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 对应关系？我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 如此P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1问题yh0hP1P0hP24：假设P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，如此t1、t2之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义，P1Pt1，P2Pt2，P0为直线上两点P1、P2的中点，|P1P|P2P|P1PP2P，即t1t2, t1t2<0 一般地，假设P1、P2、P3是直线上的点， 所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 如此t3P1P3P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义，P1P3= t3t1,P2P3=t3t2,t3t1=(t3t2,) 总结：1、 直线参数方程的标准式(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是 t为参数t的几何意义：t表示有向线段的数量，P() P0P=t P0P=t为直线上任意一点.(2)假设P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，如此P1P2=t2t1P1P2=t 2t 1(3) 假设P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 如此P1P2中点P3的参数为t3,P0P3= (4)假设P0为P1P2的中点，如此t1t20，t1·t2<02、 直线参数方程的一般式过点P0()，斜率为的直线的参数方程是 t为参数例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线的普通方程0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明t的几何意义. 解：令y=0,得1，直线过定点(1,0). k= 设倾斜角为，tg=,=, cos =, sin=的参数方程为 t为参数 t是直线上定点M01，0到t对应的点M()的有向线段 (1)、(2)两式平方相加,得tt是定点M01，0到t对应的点M()的有向线段的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线的参数方程t为参数为普通方程，并求倾斜角， 说明t的几何意义. 解：原方程组变形为 (1)代入(2)消去参数t， 得 (点斜式) 可见k=, tg=,倾斜角= 普通方程为 (1)、(2)两式平方相加,得t=t是定点M03，1到t对应的点M()的有向线段的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程为即是直线方程的标准形式，(-)2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程为是非标准的形式，12()2=41，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式吗？例3：直线过点M01，3，倾斜角为，判断方程t为参数和方程t为参数是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中 cos =, sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能区分其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？ 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) 令t¢= 得到直线参数方程的标准形式 t¢的几何意义是有向线段的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. t为参数， 斜率为(1) 当1时，如此t的几何意义是有向线段的数量. (2) 当1时，如此t不具有上述的几何意义. 可化为 令t¢=如此可得到标准式 t¢的几何意义是有向线段的数量.例4：写出经过点M02，3，倾斜角为的直线的标准参数方程，并且 求出直线上与点M0相距为2的点的坐标. 解：直线的标准参数方程为 即t为参数1 设直线上与点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t, 如此| M0M|t| =2, t=±2 将t的值代入(1)式 当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为2，3；当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为2，3.点拨：假设使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较 容易.例5：直线t为参数的倾斜角 . 解法1：消参数t,的ctg20°=tg110° 解法2：化为标准形式：t为参数此直线的倾斜角为110°根底知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线的标准参数方程.2、 直线的方程：t为参数，那么直线的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线t为参数的斜率和倾斜角分别是( )A) 2和arctg(2) B) 和arctg() C) 2和arctg2 D) 和arctg4、 直线 t为参数上的点A、B 所对应的参数分别为t1,t2，点P分线段BA所成的比为1，如此P所对应的参数是. 5、直线的方程： t为参数A、B是直线上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于( ) A t 1t 2 B t 1t 2 C D t 1+t 26、 直线： (t为参数)与直线m：交于P点，求点M(1,5)到点P的距离. ABMP (2,0)y0例6：直线过点P2，0，斜率为，直线和抛物线相交于A、B两点， 设线段AB的中点为M,求： (1)P、M两点间的距离|PM|； (2)M点的坐标； (3)线段AB的长|AB|解：(1)直线过点P2，0，斜率为,设直线的倾斜角为，tg= cos =, sin=直线的标准参数方程为t为参数*直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中， 整理得 8t215t500 =152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1t2, t1t2 ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM|中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为 即 M，(3) |AB|t 2t 1 点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以与与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比拟灵活和简捷.例7：直线经过点P1,3,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆16的两个交点A，B与P点的距离之积.解：(1)直线经过点P1,3,倾斜角为,直线的标准参数方 程为，即t为参数代入直线： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直线的标准参数方程为t为参数代入圆的方程16，得,整理得：t28t+12=0，=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2 如此t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A, B所对应的参数值，如此|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积或商的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(1,6)和B(1,2)，对称轴与轴平行，开口向右， 直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程. 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为，2方程为(y2)2=2P(x) (P>0) 点B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1)P=8P 代入 得(y2)2=2P2P+16 将直线方程y=2+7化为标准的参数方程tg=2,为锐角， cos =, sin= 得t为参数 直线与抛物线相交于A，B, 将代入并化简得：0 ，由=>0,可设方程的两根为t1、t2， 又|AB|=t 2t 1 4=(4)2 化简，得(6P)2=100 P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2)2=3248点拨：(1)对称性由两点A(1,6)和B(1,2)的对称性与抛物线的对称性质，设出抛物线的方程含P一个未知量，由弦长AB的值求得P. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例9：椭圆，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点， 求| F2A|·| F2B|的最大值.解：由椭圆方程知2，b=,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为t为参数 代入椭圆方程整理得3sin2t26 t cos9=0 ，=36cos2363sin2>0此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点对应的参数，由韦达定理t1t2= t1 t2 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点 A, B所对应的参数值，| F1A|t1|F1B|t2|AB|=t 2t 1 | F1A|·|F1B|t1|·|t2|=|t1t2| 由椭圆的第一定义| F1A| F2A|24， | F1B|+| F2B|=24| F2A|·| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|·|F1B| =16-4t 2t 1+|t1t2|=16-4+ =16- 当sin21时，| F2A|·| F2B|有最大值点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|.方法总结：利用直线的参数方程 t为参数，给研究直线与圆锥曲线C：F()=0的位置关系提供了简便的方法. 一般地，把的参数方程代入圆锥曲线C：F()=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，=0,1、(1)当<0时，与C相离；(2) 当0时，与C相切；(3) 当>0时，与C相交有两个交点；2、 当>0时，方程=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入的参数方程即可求的与C的两个交点A和B的坐标.3、 定点P0()是弦AB中点 t1+t2=04、 被C截得的弦AB的长|AB|t1t2|；P0A·P0B= t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为；| P0M |=根底知识测试2：7、 直线(t为参数)与椭圆交于A、B两点，如此|AB|等于( ) A 2 B C 2 D 8、直线 t为参数与二次曲线A、B两点，如此|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|t2| C |t1t2| D 9、 直线(t为参数)与圆有两个交点A、B，假设P点的坐 标为(2,-1),如此|PA|·|PB|=10、过点P(6,)的直线(t为参数)与抛物线y2=2相交于A、B两点，如此点P到A,B距离之积为. 根底知识测试答案1、 2、D 3、C 4、 5、B 6、4 7、 B8、 C 9、4 10、10 / 10