电大专科微积分初步复习题及答案.doc

电大微积分初步考试小抄一、填空题函数的定义域是，550 51 ，那么=假设，那么微分方程的阶数是三阶 6.函数的定义域是-2，-1U-1，)7.28.假设y = x (x 1)(x 2)(x 3)，那么(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , 把0带入X9.或10.微分方程的特解为y=ex. 又y(0)=1 (x=0 , y=1)11.函数的定义域是12.假设函数,在处连续，那么1 (在处连续) 无穷小量x有界函数13.曲线在点处的切线方程是 ， 14.sin x+c15.微分方程的阶数为三阶16.函数的定义域是2,3U3，17.1/218.，那么=27+27ln319.=ex2+c20.微分方程的阶数为四阶二、单项选择题设函数，那么该函数是偶函数函数的连续点是分母无意义的点是连续点以下结论中在处不连续，那么一定在处不可导正确可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式，那么 以下微分方程中，是线性微分方程 6.设函数，那么该函数是奇函数7.当2 时，函数在处连续.8.以下函数在指定区间上单调减少的是 9.以下等式正确的选项是10.以下微分方程中为可别离变量方程的是11.设，那么12.假设函数f (x)在点x0处可导，那么(，但)是错误的 13.函数在区间是先减后增14.(15.以下微分方程中为可别离变量方程的是16.以下函数中为奇函数是17.当时，函数在处连续.18.函数在区间是先单调下降再单调上升19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点1, 4的曲线为y = x2 + 320.微分方程的特解为三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x·(-2x)=eu·-2= -2·e-2xy= -2e-2x+dy=(-2·e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=·2du=2(-cos)+c= -2cos计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5·=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , ,四、应用题此题16分 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,外表积为s，且有h=所以S(x)=x2+4xh=x2+令x=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的外表积最小。此时的费用为S2×10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3·216/x=2x +y=2+648·(x-1)=2+648·(-1·)=2 - y=0得2 =x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=外表积为a2+4ah= a2+4a·= a2+y= a2+ , y=2a+128·( -)=2a-y=0 得 2a=a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax作业一函数，极限和连续一、填空题每题2分，共20分1.函数的定义域是答案：2函数的定义域是答案：3.函数的定义域是答案：4.函数，那么答案：5函数，那么答案：6函数，那么答案：7函数的连续点是答案：8.答案：19假设，那么答案：210假设，那么答案：1.5；二、单项选择题每题2分，共24分1设函数，那么该函数是答案：BA奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，那么该函数是答案：AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数的图形是关于对称答案：DAB轴C轴 D坐标原点4以下函数中为奇函数是C A B C D5函数的定义域为答案：DA B C且 D且6函数的定义域是答案：DA BC D7设，那么答案：CA B C D8以下各函数对中，中的两个函数相等答案：D A， B，C， D9当时，以下变量中为无穷小量的是答案：C.AB CD10当时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D11当时，函数在处连续 答案：DA0 B1 CD12函数的连续点是答案：AA BC D无连续点三、解答题每题7分，共56分计算极限解2计算极限解3.解：原式4计算极限解5计算极限解6.计算极限解7计算极限解8计算极限解 一、填空题每题2分，共20分1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案：3曲线在点处的切线方程是 答案：4 答案：或5假设y = x (x 1)(x 2)(x 3)，那么(0) = 答案：6，那么= 答案：7，那么= 答案：8假设，那么 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间单调增加，那么a应满足 答案：二、单项选择题每题2分，共24分1函数在区间是 答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的 答案：C.A极值点B最值点 C驻点D连续点3假设，那么= 答案：CA. 2 B.1 C. -1D. 24设，那么 答案：BA B C D5设是可微函数，那么 答案：D AB C D6曲线在处切线的斜率是 答案：CA B C D7假设，那么 答案：CA BCD8假设，其中是常数，那么 答案CAB CD9以下结论中 A 不正确 答案：C A在处连续，那么一定在处可微. B在处不连续，那么一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D假设在a，b恒有，那么在a，b函数是单调下降的.10假设函数f (x)在点x0处可导，那么( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11以下函数在指定区间上单调增加的是 答案：BAsinxBe xCx 2 D3 x12.以下结论正确的有 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，那么必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，那么x0必是f (x)的驻点 C假设(x0) = 0，那么x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题每题7分，共56分1设，求 解 或2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求.解 或5设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得6设是由方程确定的隐函数，求.解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得.8设，求解：方程两边同时对求微分，得一、填空题每题2分，共20分1假设的一个原函数为，那么。 答案：c为任意常数或2假设的一个原函数为，那么。 答案：或3假设，那么 答案：或4假设，那么 答案：或5假设，那么答案：6假设，那么 答案：7答案：8 答案：9假设，那么答案：10假设，那么 答案：二、单项选择题每题2分，共16分1以下等式成立的是答案：AABCD3假设，那么 . 答案：AA. B. C. D.4假设，那么 . 答案：A A. B. C. D.5以下计算正确的选项是 答案：AA BCD6 答案：AA. B. C. D. 7= 答案：CABCD8如果等式，那么 答案BA. B. C. D. 三、计算题每题7分，共35分1解 或2解 3解 45解四、极值应用题每题12分，共24分1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，那么厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大.2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？2. 解：设成矩形有土地的宽为米，那么长为米，于是围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省.五、证明题此题5分1函数在是单调增加的一、填空题每题2分，共20分1答案：2 答案：或23曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，那么该曲线的方程是。答案：或4假设 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6. 答案：07=答案：8微分方程的特解为. 答案：1或9微分方程的通解为. 答案：或10微分方程的阶数为答案：2或4二、单项选择题每题2分，共20分1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点1, 4的曲线为答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 CD2假设= 2，那么k = 答案：AA1 B-1 C0 D3以下定积分中积分值为0的是 答案：AABCD4设是连续的奇函数，那么定积分 答案：D5答案：DA0 B CD6以下无穷积分收敛的是答案：BABCD7以下无穷积分收敛的是答案：BABCD8以下微分方程中， 是线性微分方程答案：D AB C D9微分方程的通解为 答案：CA B C D10以下微分方程中为可别离变量方程的是 答案：BA.；B. ； C. ；D. 三、计算题每题7分，共56分1解或2解3解利用分部积分法456求微分方程满足初始条件的特解 即通解7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题此题4分证明等式。微积分初步一、填空题每题4分，此题共20分函数的定义域是 1 ，那么=假设，那么微分方程的阶数是3函数的定义域是 2 微分方程的特解为.函数，那么曲线在点处的切线方程是假设，那么微分方程的阶数为 5 函数的定义域是假设6. 函数，那么x2 -27 . 假设函数,在处连续，那么1 8. 曲线在点处的切线斜率是9. 10. 微分方程的阶数为 5 6. 函数，那么 x2 + 1 9. sinx + c函数的定义域 是函数的连续 点是曲线在点的斜率是假设，那么=微分方程的阶 数是2函数，那么函数在处连续，那么=24微分方程 的阶数是2 3函数 的定义域是4函数， 那么5函数，那么 2 6. 函数，那么7函数的连续点 是9假设，那么2 10假设，那么1曲线在 点的斜率是2曲线在点的切线方程是3曲线在点处的切线方程是即：45假设y = x (x 1)(x 2)(x 3)，那么(0) = 6 6，那么7，那么8假设，那么9函数的单调增加区间是10函数在区间单调增加，那么a应满足1假设的一个原函数为，那么2假设的一个原函数为，那么3假设，那么4假设，那么=5假设，那么6假设，那么7 89假设，那么10假设，那么1. 2 2 3曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，那么该曲线的方程是4假设 4 5由定积分的几何意义知，60 7=8微分方程 的特解为9微分方程的通 解为10微分方程 的阶数为 4阶 二、单项选择题每题4分，此题共20分设函数，那么该函数是BA 奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数设函数，那么该函数是AA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数以下结论中 C 正确 A在处连续，那么一定在处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. C在处不连续，那么一定在处不可导. D函数的极值点一定发生在不 可导点上.如果等式， 那么 D A. B. C. D. 以下函数在指定区间 上单调减少的是D ABCD设函数，那么该函数 是BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数以下函数在指定区间 上单调减少的是B ABC D设，那么 CA. B.C. D.以下微分方程中，A是 线性微分方程 A B C D 满足方程的点一 定是函数的 C 。A极值点B最值点 C驻点D连续点微分方程的通解 是BA.； B.； C.； D.函数的 定义域是D A2，+ B2，5C2，33，5 D2，33，5以下函数在指定区间-，+ 上单调减少的是 B AB CD函数的定义域 是C A-2，+ B-1，+C-2，-1-1，+D-1，00，+以下微分方程中为可别离变量方程的是C A.；B. C. ； D. 2、假设函数，那么 A .AB0C1D不存在以下无穷积分收敛的是BABCD微分方程的通解是DA. B. C.D.函数的定义域DABC且D且假设函数，那么 C .A0 BC1 D不存在函数在区间是C A单调增加 B单调减少 C先减后增 D先增后减以下无穷积分收敛的是AABCD以下微分方程中为一阶线性微 分方程的是BA.B. C. 2设函数，那么该函 数是 AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数的图形 是关于 D对称AB轴C轴 D坐标原点4以下函数中为奇函数是(C)A B CD5函数的定义域为DA BC且D且6函数的定义域DABCD7设，那么 C ABCD8以下各函数对中，D中的两个函数相等A，B，C，D，9当时，以下变量中为无穷小量的是 C ABCD10当B时，函数，在处连续.A0 B1CD11当D时，函数在处连续.A0 B1C2D312函数的连续点是 A AB CD无连续点1函数在区间 是 D A单调增加B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的 C .A极值点 B最值点 C驻点D连续点3假设，那么=C A. 2 B. 1 C. -1 D. -24设，那么 B AB C D5设是可微函数，那么 D A BCD6曲线在处切线的斜率是 C A BC D7假设，那么 C A BCD8假设，其中 是常数，那么 C ABC D9以下结论中 B 不正确 A在处连续，那么 一定在处可微. B在处不连续， 那么一定在处不可导.C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D假设在a，b恒有，那么在a，b函数是单调下降的.10假设函数f (x)在点x0处可导，那么( B )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微11以下函数在指定区间 上单调增加的是 B AsinxBe xCx 2D3 - x12.以下结论正确的有A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，那么必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，那么x0必是 f (x)的驻点C假设(x0) = 0，那么x0必是f (x)的极值点D使不存在的点x0，一 定是f (x)的极值点1以下等式成立的是 AABCD2假设，那么 A .A. B. C. D.3假设，那么 A . A. B.C.D.4以下计算正确的选项是 A ABCD5 A A. B. C. D. 6= C A BC D7如果等式，那么 B A.B. C. D. 1在切线斜率为2x的积分曲线 族中，通过点1, 4的曲线为AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 CD2假设= 2，那么k = A A1 B-1 C0 D3以下定积分中积分值为0的是A ABCD4设是连续的奇函数，那么定积分 D ABCD05DA0 B CD6以下无穷积分收敛的是B ABCD7以下无穷积分收敛的是B ABCD8以下微分方程中，D是线 性微分方程 ABCD9微分方程的通解为 C A B C D10以下微分方程中为可别离变 量方程的是B A.；B. ；C. D. D. 三、计算题此题共44分，每题11分设，求.解：计算不定积分解：= 计算定积分解：计算极限解：设，求.解：计算不定积分解：=计算极限解：设，求.解：设，求.解：计算不定积分解：= 计算定积分解：11. 计算极限解：2. 设，求解：， 12. 设，求 解：=13. 计算不定积分解： =14. 计算定积分解：= 计算极限解 设，求.解:3计算不定积分解 计算极限解 设，求. 解 计算定积分解计算极限 解：2计算极限解：3解：4计算极限解：5计算极限 解：6计算极限解：7计算极限解：8计算极限 解：设，求 解：2设，求. 解：3设，求. 解：4设，求.解：5设是由方程确定的隐函数，求.解：两边微分：6设是由方程确定的隐函数，求. 解：两边对求导，得：，7设是由方程确定的隐函数，求.解：两边微分，得：，8设，求解：两边对求导，得：1解：2解：3解：4解：5解：1解：2解：3解：4解：5解:6求微分方程满足初始条件的特解解：通解为， ，代入 ，代入得。即：特解为7求微分方程 的通解。解：通解为，代入得通解为四、应用题此题16分1、用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长，高，外表积，且 令，得， 所以，当时水箱的面积最小. 最低总费元3、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为，高为，用材料为，由令，解得是唯一驻点， 所以是函数的极小值点，即当，时用料最省. 5. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？解：设底边的边长为，高为h，用材料为y，由已得 ，那么 令，解得x = 4是唯一驻点，易知x = 4是函数的极小值点，此时有= 2，所以当x = 4，h = 2时用料最省。6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，容器的外表积为，由，令，得是唯一驻点即有，所以当，时用料最省1.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设长为厘米，另一边长为厘米，得：，即：，令，得：不合题意，舍去，即：当矩形的边长为、时，圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设长为米，宽为米，得，即，令，取正值，即：当矩形的长为米，宽为米时，所用建筑材料最省。五、证明题此题5分1、函数在是单调增加的证明：因为，当时， 所以函数在是单调增加的1、证明等式证明：考虑积分，令，那么，从而 所以微积分初步一、填空题函数的定义域是答案：函数的连续点是=答案：曲线在点的斜率是答案：假设，那么答案：微分方程的阶数是26.函数，答案：7函数在处连续，那么=28.曲线在点的斜率是答案：9.答案：410.微分方程的阶数是答案：211.函数的定义域是答案：12.假设，那么答案：213.，那么=答案：14.假设答案：15.微分方程的阶数是316.函数的定义域是(-2,-1)(-1，4】17.假设，那么218.曲线在点处的切线方程是_y=x+1_19.020.微分方程的特解为 y=e的x次方 21.函数的定义域是22.假设函数,在处连续，那么2 23.曲线在点处的斜率是24.25.微分方程满足初始条件的特解为26函数的定义域是答案：27函数的定义域是答案：28函数的定义域是答案：29函数，那么答案：30函数，那么答案：31.函数，那么答案：32函数的连续点是答案：33答案： 134假设，那么答案： 235假设，那么答案：36曲线在点的斜率是37曲线在点的切线方程是38曲线在点处的切线方程是3940假设y = x (x 1)(x 2)(x 3)，那么(0) = 641，那么=42，那么=43假设，那么244函数在区间单调增加，那么a应满足大于零45假设的一个原函数为，那么。答案： c为任意常数46假设的一个原函数为，那么。答案：47假设，那么答案：48假设，那么 答案：49假设，那么答案：50假设，那么答案：51答案：52答案：53假设，那么答案：10假设，那么答案：54答案：55答案：256曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，那么该曲线的方程是。答案：57假设 答案：458由定积分的几何意义知，=。答案：，它是1/4半径为a的圆的面积。59答案：060= 答案：61微分方程的特解为. 答案：162微分方程的通解为.答案：63微分方程的阶数为答案：264函数的定义域是_且。65函数的定义域是_。66设，那么_0_。67函数，那么_。68_。69设，那么_。70曲线在点的切线方程是_。71函数在区间_是单调减少的。72函数的单调增加区间是73假设，那么74_。 75760.77 2 .78微分方程的阶数是二阶二、单项选择题设函数，那么该函数是偶函数假设函数，那么.函数在区间是先减后增以下无穷积分收敛的是微分方程的通解是6.函数的定义域且7.假设函数，那么 1 .8.函数在区间是先减后增9.以下无穷积分收敛的是10.以下微分方程中为一阶线性微分方程的是11.设函数，那么该函数是偶函数12.当= 2 时，函数，在处连续.13.微分方程的通解是14.设函数，那么该函数是偶函数15.当2时，函数，在处连续.16.以下结论中在处不连续，那么一定在处不可导. 正确 17.以下等式中正确的选项是18.微分方程的阶数为319.设，那么20.假设函数f (x)在点x0处可导，那么(，但 )是错误的21.函数在区间是先减后增22.假设，那么.23.微分方程的阶数为324设函数，那么该函数是偶函数25设函数，那么该函数是奇函数26函数的图形是关于坐标原点对称27以下函数中为奇函数是28函数的定义域为且29函数的定义域是30设，那么31以下各函数对中，中的两个函数相等 32当时，以下变量中为无穷小量的是. 答案：C33当1时，函数，在处连续. 34当3时，函数在处连续. 35函数的连续点是 36函数在区间是先减后增37满足方程的点一定是函数的驻点.38假设，那么=-1 39设是可微函数，那么 40曲线在处切线的斜率是 41假设，那么 42假设，其中是常数，那么 43以下结论中在处连续，那么一定在处可微.不正确 44假设函数f (x)在点x0处可导，那么(，但)是错误的 45.以下结论正确的有x0是f (x)的极值点，且(x0)存在，那么必有(x0) = 0 46以下等式成立的是47假设，那么. 48假设，那么 . 49以下计算正确的选项是 50 51= 52如果等式，那么 53在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点1, 4的曲线为 y = x2 + 3 54假设= 2，那么k = 1 55以下定积分中积分值为0的是 56设是连续的奇函数，那么定积分 0 5758以下无穷积分收敛的是59以下无穷积分收敛的是 60以下微分方程中， 是线性微分方程 61微分方程的通解为 62以下微分方程中为可别离变量方程的是 63.函数y的定义域是(2，2。64设，那么 。65函数的图形关于轴对称66、当时，变量 是无穷小量 67函数 在x = 0处连续，那么k = (-1)68曲线在点(1,0)处的切线方程是 。69假设，那么 。70函数在区间满足单调上升71函数yx22x5在区间(0，1)上是单调减少 。72以下式子中正确的选项是 。73以下计算正确的选项是 74假设，那么 75 。76以下定积分中积分值为0的是 77微分方程的通解是 。三、计算题此题共44分，每题11分 计算极限解 设，求. 解 3计算不定积分解 4计算定积分解 5计算极限解