复变函数习题二解答.doc

-第二章局部习题解答1试证以下函数在z平面上任何点都不解析。12。证1 ，知在z平面上任何点都不解析。2 ， 知在z平面上任何点都不解析。2以下函数何处可导.何处解析.1解1由于 ，在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故仅在点处可导，在z平面处处不解析。3证明：如果函数在区域D解析，并满足以下条件之一，则是常数。(1) 在；(2)在D解析。(3)在D是一个常数。解1的证明 由于，故由引理得,根据条件即有。于是 恒为常数, 即 在 恒为常数。2 假设在区域D解析，则，又在区域D解析，则 ，结合1、2两式，有 ，故在D均为常数，分别记之为 ，则 为一复常数。3假设在D为一常数，记为，则，两边分别对于*和y求偏导，得由于在D解析，满足C-R条件代入上式又可写得解得。同理，可解得故均为常数，分别记为，则为一复常数。4如果是一解析函数，试证：也是解析函数。证1, , , 可知为一解析函数。5证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是，证令，利用复合函数求导法则和满足C-R条件，得即。又总之，有，。6设，试求123解123 Ree7.以下关系是否正确.1；2；3解12。3=。8试证：对任意的复数及整数m有 证对任意的复数z，当为自然数时，m个当时，。当时，9找出以下方程的全部解。1；2解1原方程等价于，于是它的解为：2由于，故10设，试证证由于故 11求和的值。解：，12假设函数在上半z平面解析，试证函数在下半平面解析。证1 对于任意的下半平面上的一点。则点是上半平面上的点，则 .假设解析，则满足C-R条件：因此对于的任一点,有上述两式说明的实部、虚部在满足条件，显然与在可微，故函数在处处解析。证2 令，对于的任一点，则属于的点，注意到在解析，于是有即在点处可导，且由点的任意性，知在处处解析。13 在里，将与形式地看作独立变数，写作，试证柯西-黎曼方程可表示为：证由于，根据复合函数求导法则，有可见C-R方程可表示为 . z.