数值分析报告试的题目及问题详解汇总情况.doc

word数值分析试题一、 填空题2 0×21. 设xx*=0.229的近似值，如此x有 2 位有效数字。2. 假如f(x)=x7x31，如此f20,21,22,23,24,25,26,27= 1 ， f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 0 。3. 设，A_5 _，X_ 3_，AX_15_ _。4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足 |j(x)| <1 ，如此使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5. 区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 2 阶的连续导数。6. 当插值节点为等距分布时，假如所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，假如所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： 1 ；所以当系数ai(x)满足ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)与任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的准确解x*的充分必要条件是r(B)<1 。10. 由如下数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 x012y=f(x)-2-1211. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,n)来实现的，其中的残差ri (bi-ai1x1-ai2x2-ainxn)/aii，(i=0,1,n)。13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，假如在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，如此初始点x0的选取依据为 f(x0)f(x0)>0 。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。二、 判断题10×11、 假如A是n阶非奇异矩阵，如此线性方程组AXb一定可以使用高斯消元法求解。( × )2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( Ö )3、 假如A为n阶方阵，且其元素满足不等式如此解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 ( × )4、 样条插值一种分段插值。 ( Ö )5、 如果插值结点一样，在满足一样插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( Ö )6、 从实际问题的准确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差与舍入误差。 ( Ö )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。 ( × )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( × )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，如此误差的最优分配原如此是截断误差舍入误差。 ( Ö )10、插值计算中防止外插是为了减少舍入误差。 ( × )三、 计算题5×101、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：1，5，2最大元5在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：-0.2,2.6最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：2、用牛顿埃尔米特插值法求满足如下表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组与雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：计算机数学根底(2)数值分析试题 一、单项选择题(每一小题3分，共15分)1. 准确值x*与其有t位有效数字的近似值xa1a2an×10s(a1¹0)的绝对误差½x*x½£( )×10 s1t×10 st×10s1t×10 st2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )(A) ， (B) (C) (D) 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二点的求导公式是( )(A) (B) (C) (D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改良欧拉法公式是那么yp,yc分别为( )(A) (B)(C) (D) 二、填空题(每一小题3分，共15分)6. 设近似值x1,x2满足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)=7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk()，k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间xk,xk+1上是8. 牛顿科茨求积公式，如此.9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间内，如此在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报校正公式是预报值：，校正值：yk+1=三、计算题(每一小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组的X(3)取初始值(0,0,0)T，计算过程保存4位小数12. 函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，计算过程保存4位小数14. 用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保存4位小数四、证明题(此题10分)在等距节点a=x0<x1<<xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)»yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)其中h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)计算机数学根底(2)数值分析试题答案 一、单项选择题(每一小题3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每一小题3分，共15分)½x2½½x1½ 7. 3次多项式 8. ba 9.½j¢(x)½£r<1 10. yk+hf(xk1, ) 三、计算题(每一小题15分，共60分)11. 写出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.得到X(1)(2.5，3，3)T得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T.12.计算均差列给出f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=f(4, 1, 3)=6 13. f(x)=,h=分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3 (9分) =×1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1 14. 设x为所求，即求x2115=0的正根f(x)=x2115因为f¢(x)=2x，f²(x)=2，f(10)f²(10)=(100115)×2<0，f(11)f²(11)=(121115)×2>0取x0=11有迭代公式xk+1=xk=(k=0,1,2,)x1=10.727 3x2=10.723 8x3=10.723 8x*»10.723 8四、证明题(此题10分)15.在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于x积分，得y(xk+1)y(xk)=用求积梯形公式，有y(xk+1)y(xk)=将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(xk+1)»yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,n1) 数值分析期末试题一、 填空题分1)设 ，如此_13_。2)对于方程组 ，Jacobi迭代法的迭代矩阵是。3)的相对误差约是的相对误差的倍。4求方程根的牛顿迭代公式是。5设，如此差商 1 。6设矩阵G的特征值是，如此矩阵G的谱半径。7，如此条件数 9 8为了提高数值计算精度，当正数充分大时,应将改写为。9个求积节点的插值型求积公式的代数准确度至少为次。10拟合三点，的水平直线是。二、 10分证明：方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为的特征多项式为的特征值为，故1，因而迭代法不收敛性。三、 10分定义内积试在中寻求对于的最优平方逼近元素。解：，。法方程解得，。所求的最优平方逼近元素为，四、 10分给定数据表x-2-1012y试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:， 法方程的解为，得到三次多项式误差平方和为五. (10分) 依据如下函数值表012419233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算，并在假设下，估计计算误差。解:先计算插值基函数所求Lagrange插值多项式为从而。据误差公式与假设得误差估计：六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组解 设由矩阵乘法可求出和解下三角方程组有，。再解上三角方程组得原方程组的解为，。 七. (10分) 试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差。解：截断误差为八. (10分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求。解：此方程在区间内只有一个根，而且在区间2，4内。设如此 ， Newton法迭代公式为， 取，得。 九. (10分) 给定数表-1012101416151求次数不高于5的多项式，使其满足条件其中。解：先建立满足条件， 的三次插值多项式。采用Newton插值多项式+再设 ，由得解得，。 故所求的插值多项式14 / 14