集合的含义及表示.doc

-1.1集合集合的含义与表示Q一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是，他请教数学家："尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？集合是不加定义的概念，数学家很难答复那位渔民有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动数学家非常冲动，快乐地告诉渔民："这就是集合！问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的"大鱼能构成集合吗？*1集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的_总体_叫做集合(简称为集)(2)集合相等：只要构成两个集合的_元素_是一样的，即这两个集合中的元素完全一样，就称这两个集合相等知识点拨集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，*一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比方集合1,2,3与2,3,1表示同一集合2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa_Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa_不属于_集合A知识点拨符号"和"只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换3集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法例如：小于3的实数组成的集合(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号"括起来表示集合的方法叫做列举法(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的_一般符号_及_取值(或变化)*围_，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共同特征_这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法Y1以下给出的对象中，能组成集合的是 (D)A著名的数学家B很大的数C较胖的人D小于3的整数解析"著名的数学家和"较胖的人无明确的标准，对于*人是否"著名或"较胖无法客观地判断，因此"著名的数学家和"较胖的人不能组成集合；"很大的数也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合2以下关系：0.21Q；N*；N*；N.其中正确的个数是 (C)A0B1C2D3解析是正确的，中2N*，中N*，是正确的，故有正确3集合*N*|*23用列举法表示为 (B)A0,1,2,3,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5D1,2,3,4,5解析由*23，得*5，又*N*，所以*1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是1,2,3,44以下集合：1,2,2；R全体实数；3,5；不等式*50的解集为*50其中，集合表示方法正确的选项是_.解析违背了集合中元素的互异性；中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为*|*505(1)用列举法表示集合*N|*5为_0,1,2,3,4_(2)方程*26*90的解集用列举法可表示为_3_(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为_*|3*8_.解析(1)因为*N，且*5，所以*0,1,2,3,4.(2)由*26*90，得*13，*23.(3)*|3<*8，*RH命题方向1集合的根本概念典题1 以下各组对象：*个班级中年龄较小的男同学；联合国安理会常任理事国；2016年里约热内卢奥运会的所有比赛工程；的所有近似值其中能够组成集合的是_.思路分析结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合解析中的"年龄较小、中的"近似值，这些标准均不明确，即元素不确定，所以不能组成集合中的对象都是确定的、互异的，所以可以组成集合填.规律方法1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是"确定无疑的还是"模棱两可的如果是"确定无疑的，就可以构成集合；如果是"模棱两可的，就不能构成集合2判断集合中的元素个数时，要注意一样的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性跟踪练习1以下每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)*校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程*290在实数*围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点解析(1)"我国的小城市无明确的标准，对于*个城市是否"小无法客观地判断，因此，"我国的小城市不能构成一个集合(2)与(1)类似，也不能构成集合(3)任给一个实数*，可以明确地判断是不是"不超过20的非负数，即"0*20与"*20或*0两者必居其一，且仅居其一，故"不超过20的非负数能构成集合(4)类似于(3)，也能构成集合(5)"一些点无明确的标准，对于*个点是否在"一些点中无法确定，因此"直角坐标平面内第一象限的一些点不能构成集合命题方向2元素和集合的关系典题2 N是自然数集，给出以下命题：N中最小的元素是1；假设aN，则aN；假设aN，bN，则ab的最小值是2.其中所有正确命题的个数是(A)A0B1C2D3思路分析解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系解析自然数集中最小的元素是0，故不正确；对于，假设aN，即a是自然数，当a0时，a仍为自然数，所以也不正确应选A规律方法1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的根底，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握2判断一个元素是不是*个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征跟踪练习2(1)给出以下几个关系式：R；0.3Q；0N；00；0N；N；Z；5Z.其中正确的关系式的个数是(B)A4B5C6D7解析运用常用数集的概念可作出判断：R，0.3Q,0N,00，5Z正确其余均错误，应选B(2)集合M大于2且小于1的实数，则以下关系式正确的选项是(D)AMB0MC1MDM解析>1，故M，A选项错；2<0<1，故0M，B选项错；显然1不小于本身，故C错；2<<1，故D正确命题方向3用列举法表示集合典题3 用列举法表示以下集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(*4)2(*2)0的根组成的集合；(3)一次函数y*1与y*的图象的交点组成的集合思路分析(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立求方程组的解写出交点坐标用集合表示解析(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为1,2,3,4,6,12；(2)方程(*4)2(*2)0的根是4,2，所求集合为2,4；(3)方程组的解是所求集合为(，)规律方法1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集2列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比拟方便，且使人一目了然因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键跟踪练习3用列举法表示以下集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程*2*的所有实数解组成的集合；(3)直线y2*1与y轴的交点所组成的集合解析(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10(2)方程*2*的解是*0或*1，所以方程的解组成的集合为0,1(3)将*0代入y2*1，得y1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是(0,1)命题方向4用描述法表示集合典题4 用描述法表示以下集合：(1)满足不等式3*2>2*1的实数*组成的集合；(2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；(3)所有正奇数组成的集合思路分析解析(1)*|3*2>2*1或*|*>1；(2)(*，y)|*>0，y>0，且*，yR；(3)*|*2k1，kN规律方法1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此根底上，结合描述的定义给出集合的表示2用描述法表示集合时，其代表元素的*围务必明确，如果省略不写，则默认为*R.跟踪练习4把(1)，(2)，(3)分别更换条件如下，试分别求相应问题(1)满足不等式3*2>2*1的有理数组成的集合；(2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合；(3)所有偶数组成的集合解析(1)*Q|3*2>2*1或*Q|*>1(2)(*，y)|*y0，*，yR(3)*|*2n，nZY忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供教师参考备用) 典题5 设集合A*2，*，*y、B1，*，y，假设集合A、B所含元素一样，*数*、y的值.错解由AB，得，或，解得或或错因分析当*1，y0时，AB1,1，y，不满足集合元素的互异性，当*1，y1时，AB1,1,1也不满足元素的互异性，当*1，y0，AB1，1,0，满足题意正解由错解得或或经检验当取与时不满足集合中元素的互异性，所以*1，y0.点评在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就完毕了，根本不考虑求解出来的答案是不是符合题目要求，有没有出现遗漏或增根在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视跟踪练习假设将上式中的集合A改为a，1，B改为a2，ab,0，其他条件不改变，怎样求a2 015b2 015的值解析方法一：a，1a2，ab,0，又a0,10，0，b0，a,0,1a2，a,0，a21，即a±1，又当a1时，A1,0,1不满足集合中元素的互异性，舍去，a1，即集合A1,0,1，此时a1，b0，故a2 015b2 015(1)2 01502 015101.方法二：a，1a2，ab,0，解得a±1，b0，由集合中元素的互异性知a1，a1，b0.a2 015b2 015(1)2 01502 015101.*数学抽象能力数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和构造，并且用数学符号或者数学术语予以表征数学抽象是数学的根本思想，是形成理性思维的重要根底，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、开展、应用的过程中数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经历学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念，领悟集合的本质属性是学习的首要任务，在此根底上，明确集合元素的属性及集合的表示方法典题6 选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合.解析描述法：*|*2n1，nN*列举法1,3,5,7，2n1，规律方法用列举法表示无限集时，一是列出的前几项表达的规律，要和一般项统一起来，二是要加省略号K1以下各组对象，能构成集合的有 (C)对环境污染不太大的塑料；中国古典文学中的四大名著；所有的正方形；方程*(*22*3)0的所有实数根ABCD解析语句"污染不太大没有明确的标准；中四大名著指的是"水浒传"、"三国演义"、"西游记"、"红楼梦"；中的对象也都满足确定性、互异性、无序性2集合A*N|*，则必有 (B)A1AB0ACAD2A解析集合A中元素有两个特征：*N且*，观察四个选项，只有B正确3以下各组集合中，表示同一集合的是 (B)AM(3,2)，N(2,3)BM3,2，N2,3CM(*，y)|*y1，Ny|*y1DM3,2，N(3,2)解析A项中M(3,2)中的元素是(3,2)，N(2,3)中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B项中M3,2中的元素是3,2，N2,3中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个一样的集合；C项中集合M中的代表元素是(*，y)，是直线*y1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线*y1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合4由实数*，*，|*|，所组成的集合最多含有元素的个数为 (A)A2B3C4D5解析|*|，*，集合中的元素最多含有两个5用适当的方法表示以下集合.(1)由大于3且小于11的偶数组成的集合可表示为_2,0,2,4,6,8,10_；(2)不等式3*60的解集可表示为_*|*2_；(3)方程*(*22*3)0的解集可表示为_3,0,1_；(4)函数y*2*1图象上的点组成的集合可表示为_(*，y)|y*2*1_A级根底稳固一、选择题1在"高一数学中的难题；所有的正三角形；方程*220的实数解中，能够构成集合的是 (C)ABCD解析高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程*220的解也是确定的，能构成集合，应选C2用列举法表示集合*|*22*10为 (B)A1,1B1C*1D*22*10解析*22*10，*1.故集合为单元素集合应选B3集合A*|*10，a，则a与集合A的关系是 (A)AaABaACaADaA解析由于10，所以aA.4方程组的解集是 (D)AB*，y|*3且y7C3，7D(*，y)|*3且y7解析解方程组得，用描述法表示为(*，y)|*3且y7，用列举法表示为(3，7)，应选D5集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长，则ABC一定不是 (D)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形解析由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，应选D二、填空题6用符号与填空：(1)0_N*；_Z；0_N；(1)0_N*；2_Q；_Q.(2)3_2,3；3_(2,3)；(2,3)_(2,3)；(3,2)_(2,3)(3)假设a23，则a_R，假设a21，则a_R.解析(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易区分(2)中3是集合2,3的元素；但整数3不是点集(2,3)的元素；同样(2,3)是集合(2,3)的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合(2,3)的元素(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于1的实数是不存在的7设a，bR，集合1，ab，a，则ba_2_.解析显然a0，则ab0，ab，1，所以a1，b1，ba2.三、解答题8用适当的方法表示以下集合，并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负质数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合解析(1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为2,3,5,7，是有限集(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为*|*>10，*N，是无限集B级素养提升一、选择题1以下集合中，不同于另外三个集合的是 (B)A*|*1B*|*21C1Dy|(y1)20解析*|*211,1，另外三个集合都是1，选B2以下六种表示法：*1，y2；(*，y)|*1，y2；1,2；(1,2)；(1,2)；(*，y)|*1或y2能表示方程组的解集的是 (C)ABCD解析方程组的解是应选C3集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为 (B)A2B3C0或3D0或2或3解析因为2A，所以m2或m23m22，解得m0或m2或m3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进展一一检验可得m3，应选B4*，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则以下判断正确的选项是 (D)A0MB2MC4MD4M解析当*>0时，1，当*<0时，1，故当*，y，z全为正时，原式4；当*，y，z两正一负时，*yz<0，原式0；当*，y，z两负一正时，*yz>0，原式0；当*，y，z全为负时，*yz<0，原式4，故M的元素有4,0，4，4M.应选D二、填空题5P*|2*k，*N，kR，假设集合P中恰有3个元素，则实数k的取值*围是_k|5k6_.解析*只能取3,4,5，故5k6.6用列举法写出集合Z|*Z_3，1,1,3_.解析Z，*Z，3*为3的因数3*±1，或3*±3.±3，或±1.3，1,1,3满足题意C级能力拔高1设A，B为两个实数集，定义集合AB*|*1*2，*1A，*2B，假设A1,2,3，B2,3，则集合AB中元素的个数为 (B)A3B4C5D6解析当*11时，*1*2123或*1*2134；当*12时，*1*2224或*1*2235；当*13时，*1*2325或*1*2336.AB3,4,5,6，共4个元素2集合A*|a*23*20.(1)假设A是单元素集合，求集合A；(2)假设A中至少有一个元素，求a的取值*围分析集合A是方程a*23*20的解集，故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根要注意方程a*23*20可能不是一元二次方程(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根解析(1)因为集合A是方程a*23*20的解集，则当a0时，A，符合题意；当a0时，方程a*23*20应有两个相等的实数根，则98a0，解得a，此时A，符合题意综上所述，当a0时，A，当a时，A(2)由(1)可知，当a0时，A符合题意；当a0时，要使方程a*23*20有实数根，则98a0，解得a且a0.综上所述，假设集合A中至少有一个元素，则a.点评"a0这种情况容易被无视，如"方程a*22*10有两种情况：一是"a0，即它是一元一次方程；二是"a0，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式"来解决3假设一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为"可倒数集.(1)判断集合A1,1,2是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集解析(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集(2)假设aA，则必有A，现集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a，即a±1，故可以取集合A1,2，或1,2，或1,3，等. z.